高等数学 A1
浙江理工大学期末试题汇编
（答案册 上）
学校：____________________
专业：____________________
班级：____________________
姓名：____________________
学号：____________________
（此为 2021 年 第二版 第 2 次发行）
目录
1 浙江理工大学 2020—2021 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 A 卷.................................... 1
2 浙江理工大学 2019—2020 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 A 卷.................................... 4
3 浙江理工大学 2018—2019 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 A 卷.................................... 7
4 浙江理工大学 2017—2018 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 A 卷.................................... 9
5 浙江理工大学 2016—2017 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 B 卷...................................10
6 浙江理工大学 2015—2016 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 A 卷.................................. 12
7 浙江理工大学 2014—2015 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 A 卷.................................. 13
8 浙江理工大学 2013—2014 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 A 卷.................................. 15
9 浙江理工大学 2012—2013 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 A 卷.................................. 16
10 浙江理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《高等数学 A1》期末 B 卷................................... 20
说明：1 高数系列试卷见本书最后一页。如有其他需要，请加入 QQ 群获取其他资料；
2《高等数学 A1》中的期末 A 卷是学期末尾进行的统一考试试卷，B 卷是开学后一两周内
进行的补考试卷。
答案册里的脑筋急转弯和顺口溜供大家放松用，脑筋急转弯答案可以在下面给的群里查到
哈。
资料说明
试卷整理人：张创琦
版次：2021 年 12 月 23 日 第二版 第 2 次发行
微信公众号：创琦杂谈
本人 QQ 号：1020238657
创琦杂谈学习交流群（QQ 群）：749060380
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版权声明：试卷整理人：张创琦，试卷首发于 QQ 群“创琦杂谈学习交流群”和“创琦杂谈
大学数学学习交流群”，转发前需经过本人同意，侵权后果自负。本资料只用于学习交流使
用，禁止进行售卖、二次转售等行为，一旦发现，本人将追究法律责任。解释权归本人所
有。
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1
浙江理工大学
2020
—
2021
学年第
1
学期《高等数学
A1
》期末
A
卷
一、选择题
1.A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. D
评分标准说明： 每题 4 分，错则扣全分
二、填空题
1.
1 1
,
2 2
或者
1 1
,
2 2
. 2.
1
e
. 3.
2
3
.
4.
-
3. 5. x+C. 6.
2
2
x
y Cxe
.
评分标准说明： 每题 4 分，第 5 小题没写“C”扣 2 分,第 6 小题没写“C”
扣 2 分,其余小题错则扣全分。
三 、计算题（本题共五小题，满分 30 分）
1.解：法一：
2
2 2
1 1 1 1
lim
2
x
x x o
x x x
原式
------------ 3
分
2
2
1
1 1
lim .
1
2 2
x
o
x
x x
x
------------ 3 分
法二：令
1
u
x
,
2 2
0 0
ln 1
1 1
lim ln 1 lim
u u
u u
u
u u u
原式
------------ 2
分
0
1
1
1
lim
2
u
u
u
------------ 2
分
0
1 1
lim .
2(1 ) 2
u
u
------------ 2
分
评分标准说明： 只写出答案
1
2
，无步骤的，扣 4 分。
2. 解：令
3
u x
，则
3 2
,d 3 dx u x u u
--------------- 1 分
2 2
3 d 3 d
u u
u e u u e
原式
2 2 2
3( d ) 3 6 d
u u u u
u e e u u e ue u
--------------- 2
分
A littl e better th an the be st!
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x
o
y
2
2 2
3 6 d 3 6( d )
u u u u u
u e u e u e ue e u
--------------- 2 分
2
3
3
1
2
3
3 ( 2 2) 3 ( 2 2) .
u x
e u u C e x x C
------------- 1
分
评分标准说明： 没写“
C
”扣 1 分。
3 解:令 x=sinu, 则 dx=cosudu, 当 x=0, u=0;当 x=
1
2
,
6
u
------------- 2 分
6 6 6 6
2
0 0 0 0
1 cos 2 1 1
sin d d d cos 2 d
2 2 2
u
u u u u u u u u u u
原式
------------- 2
分
6 6
2 2
6
0
0 0
2
1 1
d sin 2 sin 2 sin2 d
144 4 144 4
3 1
.
144 48 16
u u u u u u
------------- 2 分
评分标准说明： 步骤正确，答案不对，扣 2 分。
4
解： 令
x=0
， 则
y=1
，
两端关于 x 求导得
0
y
e y y xy
， ------------- 2 分
再关于 x 求导得
2
( ) 2 0
y y
e y e x y y
------------- 2 分
求导代入 x=0, y=1 得
2
1 1
(0) (0)y y
e e
，
------------ 2 分
评分标准说明： 只写出答案扣 4 分。
5
解：特征方程
2
2 9 0
,
特征根
1 2 2i
. --------- 1
分
所以齐次方程得通解为
1 2
( cos 2 2 sin 2 2 )
x
y e C x C x
---------- 2 分
因为-1 不是特征根，设特解为
y = A e
¡ x
，代入得，
1A
. ---------- 2 分
所以，原方程的通解为
1 2
(1 cos 2 2 sin 2 2 )
x
y e C x C x
.----------- 1 分
评分标准说明： 没写“
C
1
，
C
2
”扣 1 分。
四、综合题（本题共两小题，满分 14 分）
1. 解：(1) 区域 D 如图
A=
2
2
2 3
0
0
1 8
d
3 3
x x x
；
--------- 3 分
A littl e better th an the be st!
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(2)
4
4 4
2
0 0
0
4 d d 16 8
2
y
V y y y y
. -------- 4
分
2. 解：(1)由
2 2
'( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( )F x f x g x f x g x g x f x
2
2
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( )
x
f x g x f x g x e F x
-------- 2 分
可见 F(x)所满足的一阶微分方程为
2
'( ) 2 ( ) 4
x
F x F x e
-------- 2 分
(2)
2d 2d
2 2 4 2 2
( ) 4 d 4 d
x x
x x x x x
F x e e e x C e e x C e Ce
----- 2 分
将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得 C= -1， 于是
2 2
( )
x x
F x e e
----- 1 分
评分标准说明： 第 1 题不要求画图；第 2 题未求“C”扣 1 分。
五、证明题
（本题共两小题，满分 8 分）
1. 证：令
2 2
( ) 1 ln( 1 ) 1 , [0, )f x x x x x x
，显然，f(0)=0. ---- 1 分
又因为，当 x>0,
2 2
2 2
'( ) ln( 1 ) ln( 1 ) 0
1 1
x x
f x x x x x
x x
故而
f(x)
在
[0, )
上单调递增，
------------ 2
分
当 x>0 时，f(x)>f(0)， 即
2 2
1 ln( 1 ) 1 .x x x x
------------ 1 分
2. 证：法一：柯西中值定理
令
( ) lng x x
.
则
1
'( ) 0g x
x
. ------------ 1
分
在
(1, 2)
上应用柯西中值定理，存在
(1, 2)
，使得
(2) (1) '( )
(2) (1) '( )
f f f
g g g
------------ 2
分
即
2
(2)
1
ln 2
f e
，故
2
(2) ln 2.f e
------------ 1
分
法二：介值定理
令
2
( ) (2) ln 2, [1, 2]
x
F x f xe x
. 则 F(x)在[1,2]上连续. --------- 1 分
