NullList#18.06-linalg-notes#09-线性相关性-基-维数1

# 09-线性相关性-基-维数 ## 1、Overview（概述） 在之前的章节中，我们可能经常会发现矩阵中有时会有一行或几行本身就是前面几行的线性组合的情况，那么这一节，我们就从这种线性相关或线性无关的特征入手，介绍空间中的几个重要的概念：**基** ， **维数** 。 ## 2、线性无关和线性相关 ### 2.1、背景知识 首先需要强调的是，接下来我们讨论的概念都是基于向量组的，而不是基于矩阵的。线性无关，线性相关都是向量组内的关系，基也是一个向量组，不要与矩阵概念混淆。 首先我们从之前学习的 Ax=0 方程谈起。 例如 m*n 的矩阵 A :  显然，n > m，以这样的矩阵 A 构成的方程 Ax = 0，此时未知数𝑥 𝑛 的个数比 方程的个数多。未知数一共 n 个，方程一共 m 个。 所以此时 A 的零空间中除零向量以外还有其他向量，原因是这样的 A 一定有自由变量(至少有 n-m 个自由变量)，这就造成了零空间中向量的无穷解。 ### 2.2、线性无关与线性相关 我们之前也接触了线性无关与线性相关的相关概念。接下来直接给出定义： #### 2.2.1、线性无关 除系数全为 0 的情况外，没有其他线性组合方式能得到零向量，则这组向量线性无关。 设向量组为  。即 c 不全为 0 时，任何  线性组合的结果都不为零，则此向量线性无关。 #### 2.2.2、线性相关 除了零组合之外还有其他的线性组合方式得到零向量，则这组向量线性相关。 �