第8周习题课 微分的应用1
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2022-08-03
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第八周习题课
1. 设
)( xf
在
,
上具有二阶连续导数，且
0)0( f
，对函数
.0,
,0,
)(
)(
xa
x
x
xf
xg
（I）确定
a
值使
)( xg
在
,
上连续；
（II）对（I）中确定的
a
值，证明
)( xg
在
,
上的一阶导数连续。
证明（I）
)0(
)0()(
lim
)(
lim)(lim
000
f
x
fxf
x
xf
xg
xxx
。
当
)0(fa
时
)( xg
在
,
上连续；
（II）
0x
时，
2
)()()(
)(
x
xfxfx
x
xf
xg
，
2
)0(
2
)0()(
lim
)0()(
lim
)0(
)(
lim
)0()(
lim)0(
0
2
000
f
x
fxf
x
fxxf
x
f
x
xf
x
gxg
g
x
xxx
2
)0(
2
)()()()()(
lim)(lim
2
00
f
x
xfxfxxf
c
x
xfxfx
xg
xx
，
)( xg
在
,
上的一阶导数连续。
一．不等式证明
2. 设
0x
，证明不等式
24
)1arctan(
22
2
x
x
xx
x
。
证明：令
xxxxxxxf )22(
4
)1arctan()22()(
22
，则
0)0( f
0]
4
)1)[arctan(22(
)22(
4
)1arctan()22()(
xx
xxxxf
艾斯·歪
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