第5次习题课题目-微分中值定理1
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2022-08-03
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第八周习题课 微分中值定理，单调性，极值，洛必达法则 题目
费马定理：
)(xf
在
0
x 点取到极值，
)(xf
在
0
x 点可微，则 0)(
0
xf 。
罗尔定理：
)(xf
在
ba, 连续，在
ba, 可微，
)()( bfaf
，则
ba,
，使
0)(
f
拉格朗日定理：
)(xf
在
ba, 连续，在
ba, 可微，则
ba,
，使
a
b
afbf
f
)()(
)(
柯西中值定理：
)(xf
，
( )
g x
在
ba, 连续，在
ba, 可微，且
( ) 0
g x
，则
ba,
，
使
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f f b f a
g g b g a
。
（达布定理）导数零点定理：设函数
)(xfy
在
],[ ba
上可导，并且 0)()(
bfaf 。
则必 ),(
0
bax ，使得 0)(
0
xf (在
0
x 处有水平切线)。
洛必达法则——求不定式的极限
如果
(1)
0)(lim)(lim
xgxf
(或
)
(2) 在极限点附近，
)(),( xgxf
都存在，且
0)(
xg
；
(3)
)(
)(
lim
xg
xf
存在或为无穷大，则
)(
)(
lim
xg
xf
存在或为无穷大，且等于
)(
)(
lim
xg
xf
。
一．微分中值定理用于证明题
1. 在
1,0
上，
1)(0
xf
，
)(xf
可微，且
1)(
xf
，证明在
1,0
存在唯一的
使
)(f
。
2. 设函数
)(),( xgxf
在
],[ ba
上连续，在
),( ba
内具有二阶导数，且存在相等的最大值，
)()(),()( bgbfagaf
，证明：存在
),( ba
，使得
)()(
gf
。
3.
函数
)(),( xgxf
在
],[ ba
连续，在
),( ba
二阶可导，且
0)(
xg
，
0)()()()(
bgagbfaf
。 求证
（1）
0)(
xg
，
),(x ba
；
xhmoon
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