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线性代数总结笔记1

线性代数

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1、排列、逆序与对换 2、 n 阶行列式的定义 1、引例 2、行列式展开定理

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1st

线性代数（基础）

第一讲行列式

一、行列式的概念

1、排列、逆序与对换

（1）排列

n,,2,1 

按一定顺序排成

jjj ,,,



为

级排列

3,2,1

3 级排列（标准排列）

2,4,3,1,5

5 级排列

注：所有

级排列共有

个

（2）逆序与逆序数

 









奇，奇排列

偶，偶排列

jjjj ,,,,

321



（3）对换

jjjjj ,,,,,

321



jjjjj ,,,,,

231



（4）如

   

31,2,3,03,2,1 



对换一次改变奇偶性

一般地，对换奇数次改变排列的奇偶性，对换偶数次不改变排列的奇偶性。

2、

阶行列式的定义

（1）引例求









2222121

1212111

bxaxa

的解。





21122211

212221

aaaa

baab

设

12212211

2221

1211

aaaa

D 

，

122221

222

121

abab

D 

;



结果特点：项数；每一项的构成（必须来自不同行，不同列）；符号确定（看列标逆

序数）

 

2112

2211

2221

1211

11 aaaa





2nd

推广：

322311332112312213322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa



（对角线法则只用于 2,3 阶行列式）

（二）定义

 

njjj

jjj

nnnn

ijn

aaa

aD 







22221

11211









注：

是一个数值，是

项代数和，每项均取自不同行，不同列的

个元素乘积。

例 1 计算上三角行列式

aaa

222

11211









 

jjj

aaaD









2211



注：同样地





类似地

 





类似地









；

 











（2）行列式中零元素较多时，才考虑用定义求。

二、行列式的性质

性质 1 行列互换，其值不变

nnnn

aaa











22212

12111

22221

11211



证：记

   

bDaD  ,

，则

jiij

ba 

，于是有

 

njjj

jjj

bbbD 









 

Daaa

njjj

jjj









3rd

性质 2 互换行列式中两行或两列其值变换

注：1）若

中某两行（列）元素相同，则

0D

；

2）换奇数次变号，换偶数次仍是原行列式；

性质 3 在行列式中某一行或某一列有公因子可以提出来，即

kDk

kakaka

inii







证：

 

kDknj

jjj

aaah















注：1）若

中有一行（列）元素为零，则

0D

；

2）若

中有两行（列）对应成比例则

0D

；

性质 4 若行列式的某一行（列）元素均为两数之和则可分为两个行列式的和。

21212211 iniiiniiininiiii

bbbaaabababa  

注：

fdc

eba





正确

2211

dcdc

baba





错误

性质 5 将行列式的某行（列）的

倍加到第一行（列）上其值不变。

例 2 计算





 

nia

,,2,1,0 

【分析】三角形法：利用性质化行列式为上（下）三角行列式

解：

aaa





























,,2,1





推广：两边夹一对角线

4th

1）

bba





；2）所有两边夹一对角线；

3）两边对角线一边（三角形法）

Ex：计算

aaa







,结果

 





xaxaxa

例 3 计算

abbb

bbab

bbba







【分析】行和列和相等，



三角形法







列和相等，行加

行和相等，列加

，解：

 

 

bna

abbna

babna

bbbna

,,2,1



















 

 

 

 

 









babna

bna





例 4 设

 

ijn

aD 

，若

jiij

aa 

，则

称

阶对称行列式，若

jiij

aa 

，则

为

阶反

对称行列式。

证：由

jiij

aa 

，则

ji 

时则

0

5th

 

nD 1

112































转置

若

为奇数时，

DD 

，即

0

三、行列式按行（列）展开

1、引例

322311332112312213133221312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

D 

     

3231

2221

3331

2321

3332

2322

3231

2221

3331

2321

3332

2322

111





余子式，代数余子式



 



余子式代数余子式



 1

注：1）

ijij

MA ,

都是行列式，数值只与

的位置有关，而与

的值无关。

如

987

654

321

987

654

cba

cba 与与与 3,2,1

ijij

M,

相等；

2）

ijij

MA ,

最多只差一个符号；

2、行列式展开定理

 

njjjjj

ininiiii

ijn

AaAaAa











2211

注：1）在降阶时运用展开定理，降阶之前应先用性质将某一行（列）只剩一个非零元素；

2）



injnijij

AaAaAa

2211

131312121111

333231

232221

131211

AaAaAa

aaa



则

232322222121

333231

232221

 AaAaAa

aaa

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