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S18124011-王景博-第五章作业1

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信号检测与估计第五章作业学号：S18124011姓名：王景博老师：刘志文中国航天科工集团第二研究院研究生院1. 设有下列两个假设：：，：=，其中，为已知信号

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信号检测与估计

第五章作业

学号：S18124011

姓名：王景博

老师：刘志文

中国航天科工集团第二研究院研究生院

1. 设有下列两个假设：

：

( ) ( )x t n t=

，

0 t T£ £

：

( )x t

( ) ( )As t n t+

，

0 t T£ £

其中

( )n t :

[0, ( )]

d t

，

( )s t

为已知信号，且为了处理方便起见，假

定

( ) 1

s t dt =

。

如果要求

，试求：

(1) A 为已知常数时的最佳接收机和相应的检测概率

，并画出相

应的 ROC 曲线；

(2) A 为不等于零的未知参量时的接收机；

(3) A 为大于零的未知参量时的接收机；

(4) A 为小于零的未知参量时的接收机。

解：(1)此题为高斯白噪声背景下的确知信号波形检测问题。

由题意可知，两种假设下观测信号

( )

x t

的似然函数为：

( ) ( )

exp

p x t H F x t dt

é ù

é ù= -

ê ú

ë û

( ) ( ) ( )

0 0

exp

= exp 2

p x t H F x t As t dt

F x t Ax t s t dt

N N

ì ü

é ù= - -

é ù

í ý

ë û

î þ

ì ü

é ù

- - -

í ý

ë û

î þ

其中

为已知常数，则 LRT 为：

( )

( ) ( )

0 0

exp

p x t H

A A

x t x t s t dt

N N

p x t H

é ù

ë û

L = = -

é ù

ê ú

ë û

é ù

ë û

两边取对数化简得：

( ) ( )

2 2

def

A x t s t dt V

+ =

故检验统计量

( ) ( ) ( )

l x t A x t s t dt=

é ù

ë û

。

在 H

假设下，

( )

( ) ( )x t As t n t= +

(

0 t T£ £

)是高斯随机过程，故检验

统计量

( )

l x t

é ù

ë û

是高斯随机变量，因此有：

( )

{ }

( ) ( )

{ }

E E ( )

l x t H A As t n t s t dt A= + =

é ù é ù

ë û ë û

( )

{ }

( ) ( )

{ }

( ) ( )

1 1 1

Var E E E =

A N

l x t H l x t H l x t H A n t s t dt

é ù

= - =

é ù é ù é ù

ë û ë û ë û

ê ú

ë û

令

A N

，故有：

( )

exp

l A

p l H

é ù

ê ú

= -

ê ú

ë û

在 H

假设下，

( ) ( )x t n t=

(

0 t T£ £

)是高斯随机过程，故检验统计量

( )

l x t

é ù

ë û

是高斯随机变量，因此有：

( )

{ }

( )

E E ( ) 0

l x t H A n t s t dt

é ù

= =

é ù

ë û

ê ú

ë û

( )

{ }

( ) ( )

{ }

( ) ( )

0 0 0

Var E E E =

A N

l x t H l x t H l x t H A n t s t dt

é ù

= - =

é ù é ù é ù

ë û ë û ë û

ê ú

ë û

故有：

( )

exp

p l H

æ ö

= -

ç ÷

è ø

在 N-P 准则下，虚警概率为：

( ) ( )

1 0 0

exp 1

T T

V V

P P H H p l H dl dl

s s

+¥ +¥

æ ö

= = = - = - F =

ç ÷

è ø

ò ò

其中，

( )

为标准正态分布的 CDF(Cumulative Distribution Function)。

可解得判别界面(检测门限)

( ) ( )

1 1

l V A

s a a

- -

= = F - = F -

。

故最佳接收机为：

�

� �

x t

�

� �

�

� �

As t

图 1.A 为已知常数时的最佳接收机框图

检测概率为：

( ) ( )

( )

1 1 1

exp 1

=1 1

T T

V V

l A

V A

P P H H p l H dl dl

s s

+¥ +¥

é ù

æ ö

ê ú

= = = - = -F

ç ÷

ê ú

è ø

ë û

é ù

-F F - -

ê ú

ë û

ò ò

观测信号

( )

x t

中感兴趣信号(有用信号)的能量为

( )

2 2 2

E A s t dt A=

，

则:

0 0

2 2

SNR 10lg 10lg

E A

N N

æ ö æ ö

= =

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

则相应的 ROC 曲线为：

图 2. A 为已知常数时的 ROC 曲线

由图 2 可知，当虚警概率 P

固定时，随着 SNR 的增大，检测

概率 P

逐渐增大；当 SNR 固定时，随着虚警概率 P

的增大，检测

概率 P

逐渐增大；固定检测概率 P

，对虚警概率 P

大的 SNR 要

求低，对虚警概率 P

小的 SNR 要求高。

(2)A 为未知参量，所以影响统计判决结果的不只是噪声，还有未

知参量 A，故属于随机参量信号波形统计判决问题(复合假设检验问

题)，其先验 pdf 未知，且其取值范围已知。

由题意可知，两种假设下观测信号

( )

x t

的条件似然函数为：

( ) ( )

; exp

p x t H F x t dt

é ù

= -

é ù

ê ú

ë û

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

ROC

SNR=

-10

SNR=

-5 dB

SNR=

SNR= 5

SNR=

10dB

-P

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