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⼏点回顾
切比雪夫不等式：对于任意 c > 0, P(|X − E(X)| ⩾ c) ⩽
1
c
2
Var(X).
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y).
特征函数的在 t = 0 处的泰勒展开：
φ(t) = 1 + iE(X) +
1
2
i
2
E(X
2
) + ....
依概率收敛与依分布收敛，当极限是常数时，⼆者等价。
如果 X
n
的特征函数 φ
n
(t) 收敛到 X 的特征函数时，X
n
依分布收
敛到 X.
若 X 与 Y 相互独立，则 X + Y 的特征函数为
φ
X+Y
(t) = φ
X
(t)φ
Y
(t).
Y = aX + b, 则 Y 的特征函数为 φ
Y
(t) = e
ibt
φ
X
(at).
(清华⼤学) 概率论与数理统计 2020 2 / 26
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