17年 题目1

【题目1】 这是一份2017年清华大学微积分A(1)的考试试卷。试卷包含了填空题、计算题和证明题，主要涉及微积分中的基本概念和技巧，如函数的极值、泰勒多项式、广义积分、极限、微分方程、曲线的性质以及面积和体积的计算。 1. 第一题要求找到函数2 ln,0( )0,0xxxf xx  的极大值点。这涉及到利用导数来寻找函数的极值点。对于函数f(x)=ln|x|，其极大值点通常出现在导数为零或者不存在的地方。 2. 第二题要求求出( )1f xxx在区间[ 5,1]上的最小值。这是通过比较端点值和内部极值点来确定函数的最值。 3. 对于曲线1ln(1e )xyx，要求确定渐近线的数量k。渐近线的判定通常考虑函数在x趋于无穷大或无穷小时的行为。 4. 第四题要求找到21( )4f xxx在02x 处的2n阶泰勒多项式。泰勒多项式是用多项式近似函数的方法，需要利用泰勒公式。 5. 第五题的积分问题( )de cosCxf xxx涉及到积分的性质，要求计算[( )2 ( )]e dxfxf xx。 6. 第六题28d(4) xx x是一个简单的积分计算。 7. 第七题1lim ln(1)(2)nnnnnnn考察的是数列极限。 8. 第八题12221(π) dxxx是一个关于三角函数的积分问题。 9. 第九题的广义积分sin20( )(1 cos)dxxf xtt涉及极限和积分的结合。 10. 第十题要求计算曲线0 tan dxyt t  π(0)4x≤≤的弧长，这需要使用弧长公式。 11. 第十一题是求由曲线lnyx与两直线e1yx 及0y 所围成的平面图形的面积，需要用到积分求面积。 12. 第十二题是求曲线sin ,0πyxx≤≤绕 x 轴旋转所得的旋转体体积，需要用到旋转体体积的计算公式。 13. 第十三题的广义积分201d(1)(ln(1))pp xxx的收敛性与参数p有关，需要分析积分的性质。 14. 第十四题的微分方程32exyyy需要找到满足特定初始条件的特解。 15. 第十五题的微分方程20x yxyy也需要找到满足特定边界条件的特解。 计算题部分： 1. 求函数2( )1xf xx的定义域、单调性、凸性区间、极值、拐点和渐近线。这需要对函数进行分析，找出它的导数和二阶导数，并确定它们的符号变化。 2. 求广义积分30lnd(1)xxx。这是一道标准的积分问题，需要应用积分法则来计算。 3. 求旋轮线(sin ),(1cos )xaya(0π) ≤2绕 y 轴旋转一周生成旋转面的面积。这需要利用圆锥体的表面积公式。 4. 求解微分方程(4)( )( )0yxyx，并给定当0x 时，3( ) ~y xx 的条件，找到函数y(x)的表达式。 证明题部分： 1. 证明不等式21lncos112xxxxx≥。这需要利用到三角函数和对数函数的性质。 2. 分别证明两个积分相关的结论。第一部分涉及积分的线性性质，第二部分涉及到广义积分的收敛性及其性质。 这些题目涵盖了微积分的基本概念和技巧，包括极限、导数、积分、微分方程、曲面和体积的计算，以及一些特殊的函数性质。解答这些问题需要扎实的微积分基础和一定的计算能力。