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第9章欧几里得空间-21

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1. 几何空间 2. 标准正交基的定义 3. 标准正交基的构造

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一、正交向量组

二、标准正交基

三、正交矩阵

设Ｖ为欧氏空间，非零向量

,,, ,

αα α

∈



一、正交向量组(系)

定义：

如果它们两两正交，则称之为正交向量组(系).

注：

①

正交向量组必是线性无关向量组.

证：设非零向量两两正交.

,,,

αα α

∈



令

11 22

0, ,

mm i

k k k kR

αα α

+ ++ = ∈

则

(, ) (, ) (,)0

i jj j i j i i i

kk k

α α αα αα

= =

= = =

∑∑

由知

≠

( , ) 0,

αα

0, 1,2, , .

ki m∴= =

故线性无关.

,,,

αα α



③ 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数

.n≤

③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．

( , ) 1 0.

αα

= ≠

(1,1, 0), (1,0,1)

αα

= =

例如：中

线性无关．

但不是正交向量组.

αα

1. 几何空间中的情况

在直角坐标系下

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)i jk

= = =

  

是由单位向量构成的正交向量组，即

二、标准正交基

(,)(,)(,)0,i j jk ki= = =

     

,,i jk

  

是的一组基.

| || || | 1

i jk= = =

  

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