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9月28日作业分析1
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于是|A|=1,a11=1/√3 .40 (1)不少同学必要性证明过程有错,充分必要条件可合起来一起证明,见如下:40 (2)大家都用 A2=A 反证 A 不可
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9 月 28 日作业分析
作业:习题二:22,30,35,37,40,43,20(2),26,28,29,31(2),32
习题二:30 绝大部分同学没有过程,直接写出 X
-1
, Y
-1
, Z
-1
. 应该写出过程,有两种方法:
方法一:设未知量求逆矩阵. X 是块对角矩阵,直接得 X
-1
=diag(A
-1
,B
-1
) .
设
11 12
1
21 22
CC
Y
CC
,由
11 12 21 22
1
21 22 11 12
C C AC AC
O A E O
YY
C C BC BC
B O O E
,得方程组
21 12
22 11
,
.
AC BC E
AC BC O
解得 C
22
=C
11
=O, C
21
=A
-1
, C
12
=B
-1
,即
1
1
1
OB
Y
AO
. 同理可得
1 1 1
1
1
B CA B
Z
AO
.
方法二:表示成简单的矩阵的乘积,再求逆. 易知 X
-1
=diag(A
-1
,B
-1
).
因为
A O O E
Y
O B E O
,故
11
11
1
11
O E A O O E
A O O B
Y
E O O B E O
O B A O
.
因为
11
E O O A E O
ZY
CA E B O CA E
,故
1
1 1 1 1
11
11
11
E O E O
O B B CA B
ZY
CA E CA E
A O A O
.
30 题也有同学将初等变换作用到块矩阵上,此法不宜使用. 可先针对普通矩阵,再用块矩阵验证.
例如:由
1 1 1 1
1
1 1 1 1
0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 0 1 0
aa
a b ca b
b c b ca
b ca b a
,经验证
1 1 1
1
O A E O
B CA B
B C O E
AO
. 故有
1 1 1
1
1
B CA B
Z
AO
.
35 有些同学没有证明|A|≠0 就直接得到|A|=1,进而求 a
11
。也有的同学讨论了|A|≠0 但推导过程有点乱。可如下:
解 因为 A
*
=A
T
,故 AA
T
=AA
*
=|A|E。该式子两边取行列式,得 |A|
2
=|A||A
T
|=|AA
T
|=||A|E|=|A|
3
,从而|A|=0 或|A|=1。
从 AA
T
=|A|E,又有 a
11
2
+a
12
2
+a
13
2
=|A|。再由 a
11
=a
12
=a
13
>0,故 |A|=3a
11
2
>0。于是|A|=1,a
11
=1/√3 .
40 (1)不少同学必要性证明过程有错,充分必要条件可合起来一起证明,见如下:
证明:A=E-αα
T
,α≠θ,则 A
2
=AE-2αα
T
+αα
T
αα
T
=E-αα
T
α(α
T
α)α
T
=αα
T
(α
T
α-1) αα
T
=0α
T
α=1 .
40 (2)大家都用 A
2
=A 反证 A 不可逆,也可以用非零解条件来证.
证明:A=E-αα
T
,α≠θ,且 α
T
α=1,故 Aα=( E-αα
T
) α= α-α(α
T
α)= α-α=θ,即方程组 Ax=θ 有非零解,故|A|=0,即 A 不
可逆.
28(1) 有些同学证明 A-E 可逆过程有错,可如下:
证明:因为 A+B=AB,故 (A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E,即 A-E 可逆,逆矩阵为 B-E .
另外 28(2)求 A 有两种方法:由 A+B=AB 得到 A=B(B-E)
-1
;或由(A-E)(B-E)=E 得到 A=E+(B-E)
-1
.
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