(12)线性判别分析1

线性判别分析（LDA，Linear Discriminant Analysis）是一种统计方法，主要用于高维数据集的降维，特别是在分类任务中。LDA的目标是找出一个或多个最优的投影方向（通常是一维或二维），使得类别间（Between-class scatter）的差异最大化，同时类别内（Within-class scatter）的差异最小化。这种方法考虑了类别标签，因此是监督学习的一种降维技术。 1. **LDA的基本思想** - 在没有类别标签的情况下，PCA等无监督方法可以用于降维，但它们忽略了分类信息。 - 当我们关心类别标签时，LDA通过找到最大程度区分不同类别的特征子空间来进行降维。例如，在文档分类中，LDA可以帮助我们保留与主题相关的特征，去除无关的词。 - 在图像识别中，LDA可以帮助我们从大量的像素特征中提取出能有效区分人脸与非人脸的关键特征。 2. **LDA的数学形式** - 对于二分类问题，给定特征为d维的N个样本，其中N1个属于类别ω1，N2个属于类别ω2，LDA的目标是找到一个d维向量w，使得样本x在w上的投影y（即yw）能够最好地区分两类样本。 - 最佳向量w使得类别间的散列值（Between-class scatter）与类别内的散列值（Within-class scatter）的比值最大。类别间的散列值J(w)由两类样本均值的差的模决定，而类别内的散列值s(w)由样本在w上的投影的方差决定。 - 散列矩阵S_w是所有样本关于其类均值的协方差矩阵之和，它反映了类别内部的变异性。 3. **LDA的优化过程** - LDA的目标是最大化J(w)/s(w)，这可以通过解一个特征值问题来实现，找到使得该比率最大的特征向量w，这个特征向量对应于散列矩阵S_w的最小特征值。 - LDA的解决方案可以视为解决一个线性分类问题，找到一个超平面（对于二维数据是一条直线）最大化两类样本的间隔。 4. **LDA的局限性** - LDA假设数据符合高斯分布，且各类别的协方差矩阵相等，这在实际应用中可能不成立。 - LDA最多只能生成C-1维的子空间，其中C是类别的数量。这意味着对于多于两个类别的问题，LDA可能无法找到最优的降维方向。 5. **与其他方法的对比** - LDA与PCA的主要区别在于LDA利用了类别信息，而PCA只关注数据本身的结构。 - LDA与逻辑回归（Logistic Regression）不同，逻辑回归是预测连续变量的分类边界，而LDA是找到最佳的分类边界。 线性判别分析是一种有效的降维方法，尤其适用于分类问题，它通过最大化类间距离和最小化类内距离来寻找最佳的投影方向。然而，它的有效性依赖于数据满足特定假设，如正态分布和共协方差矩阵相等，这些条件在现实世界的数据中可能不易满足。