任艳霞概率2013春期末1
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2022-08-03
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2013 春季学期《概率论》期末考题
出题人：任艳霞 教授
1.
(1)X 是取非负整数的随机变量，且
EX <∞
证明：
1
()
i
EX P X i
∞
=
= ≥
∑
(2)X 与 Y 相互独立，都是取非负整数的随机变量，且
()EX Y+ <∞
证明：
{ }
0
(max , ) [1 ( ) ( )]
i
E XY PX iPY i
∞
=
=−≤ ≤
∑
2.X 与 Y 有联合概率密度分布函数如下：
1
( , ) ,0 ,
x
y
y
f xy e e xy
y
−
−
= < <∞
(1)计算 Y=y 的条件下 X 的条件概率密度
(2)求
( 1| ), (0, )
PX Y y y
> = ∈∞
3.X
1 与 X2 是相互独立的随机变量，且均满足标准正态分布。
令
12
1
2
XX
Y
+
=
，
2
12
2
()
4
XX
Y
−
=
(1)Y
1 与 Y2 是否独立？为什么？
(2)求 Y
1，Y2 的联合密度函数。
4.汽车的保险索赔额是随机变量，服从指数分布。在有了扣除额 d(即 d 以下不赔付，d 以上则减
去 d)之后赔付款的期望减少了 10%，问方差减少了百分之多少？
5.随机变量
X1，……，Xn 相互独立，且均服从泊松分布。
证明：X
1+……+Xn 服从泊松分布。
6.n 次重复独立试验，结果为 1,2，……，k，概率分别为 p
1，……，pk，且
1
1
k
i
i
p
=
=
∑
令 N
i 表示出现 i 的次数，对 i≠j，求
( | 0)
ji
EN N>
7. X
i(i=1,2,….12)是独立同分布的随机变量，且服从(0,1)间的均匀分布。
求
12
1
( 6)
i
PX>
∑
的近似值。
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