任艳霞概率2012春期末1

【知识点详解】 1. **药物有效率的近似公式**：在题目中，某药物的有效率为80%，随机对n个人使用，要求药物有效比例不小于85%的概率。这个问题涉及了二项分布和正态分布的近似。当样本量n足够大时，二项分布可以用正态分布来近似。根据中心极限定理，如果样本量n乘以成功率（80%）或失败率（20%）都大于5，那么二项分布的概率可以近似为正态分布。因此，我们需要计算的是正态分布中大于等于85%比例的累积概率。 2. **依概率收敛与几乎处处收敛**：随机变量序列$X_n$满足$P(X_n = -n) = P(X_n = n) = \frac{1}{2n\log n}$，$P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{n\log n}$。题目要求证明$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$依概率收敛到0，但不是几乎处处收敛到0。依概率收敛意味着随着n趋于无穷大，这个序列的极限概率是1。而几乎处处收敛是指除了一个测度为0的集合外，所有点的极限都是相同的。这里可以通过Borel-Cantelli引理来证明依概率收敛，而对于几乎处处收敛，可以构造一个反例来否定。 3. **指数分布的保险索赔额问题**：指数分布常用于描述等待时间，如索赔额间隔。题目中提到索赔额服从指数分布，设扣除额为d，赔偿额的期望减少10%，要计算方差减少的百分比。需要知道原始的期望和方差，然后计算扣除d后的期望和方差，最后对比方差的改变。 4. **二维随机变量的转换**：$(X,Y)$有联合密度$f(x,y)$，通过变换$Z = \frac{(Y-\rho X)}{\sqrt{1-\rho^2}}$，需要证明$X$和$Z$独立，且两者都服从$N(0,1)$分布。这涉及到随机变量的线性变换以及正态分布的性质。同时，要求$(|X|,|Z|)$的密度函数，这需要利用绝对值函数的性质以及条件概率密度的计算。 5. **二维联合密度的处理**：$(X,Y)$有定义在$0 \leq x < y \leq 1$的联合密度$f(x,y)$，需要找到常数$c$，$Y$在条件$X=x$下的条件密度，以及$P(X+Y\leq 1)$。这涉及到二维概率密度函数的积分，条件概率密度的定义以及边缘概率的计算。 6. **硬币投掷的期望值**：一枚硬币正面朝上的概率为$p$，$X_n$表示连续出现n次正面需要掷硬币的次数，要求$E[X_n]$。这个问题可以通过几何分布的期望值公式解决，几何分布的期望值是成功概率的倒数。 7. **大数定律的应用**：序列${X_n}$独立同分布且与$X$同分布，证明对于任意实数$a$，$P(\sum_{i=1}^{n} X_i \geq na) \leq e^{-nh(a)}$，其中$h(x) = \sup_{0\leq\theta\leq b}\{\theta x - \log E[e^{\theta X}]\}$。这是Hoeffding不等式的一个应用，它涉及到随机变量的指数矩和概率不等式。 8. **股票价格模型**：股票价格在单位时间内的上涨和下跌概率分别为$p$和$1-p$，记$W_n$为n个单位时间后的股票价格。问题包括证明$1/n\log W_n$几乎处处收敛到常数c以及求特定条件下600天后股票价格上涨至少30%的概率。这里需要用到随机过程中的弱大数定律和正态分布的近似。 9. **对称分布的特征函数**：随机变量$X$是对称分布的，如果$P(X \leq -x) = P(X \geq x)$对所有$x \geq 0$成立。需要证明特征函数$\phi(t)$是实值偶函数是充分必要条件。此外，给定一个对称分布的特征函数$\phi(t) = e^{-\sqrt{|t|}}$，要求找一个序列$an$使得$\frac{Sn}{an}$依分布收敛到非零随机变量，并给出极限分布。这需要用到特征函数的性质和独立同分布序列的性质。 这些题目涵盖了概率论与数理统计的多个核心概念，包括正态分布的近似、随机变量的收敛性、概率不等式、随机过程、特征函数及其应用等。解答这些问题需要深入理解概率论的基本理论和方法。