这篇资料主要涵盖了线性代数中的矩阵理论和相关概念，包括矩阵运算、行列式、特征值、秩、特征多项式、方程组的解、线性相关性以及矩阵的逆等知识点。
1. 矩阵乘法：题目中出现了矩阵乘法的例子，例如2103132110115102− = 3001132110115102−−×( 3001031010115102−−= 0314011110( 1)4 1−−+×( 4304011110−−− = 43111−− = 29. 这些都是矩阵乘法的基本计算。
2. 正交矩阵的性质：若A是正交矩阵，则行列式|A3AT| = 1。正交矩阵的定义是其转置的逆等于其本身，即A^T = A^-1，其行列式的值为1或-1，这里给出了一个特殊情况。
3. 共面条件：空间四点A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C(1, 2, k), D(−1, 4, 9)共面的充分必要条件是k = 3。这涉及到向量的线性组合和空间几何。
4. 点到直线的距离：点P(2, −1, 1)到直线l:12x−1 = y+1 = z2−的距离为1，这是通过解决距离公式得到的。
5. 方阵的秩：若4阶方阵A的秩为2，则伴随矩阵A*的秩为0。秩为2意味着A只有两个非零行或列，因此它的伴随矩阵A*的所有元素都是由A的余子矩阵的行列式决定的，而这些余子矩阵由于A的秩只有2，所以它们至少有两行或两列全为0，导致行列式为0，故A*的秩为0。
6. 特征多项式与特征值：方阵A使AP = PB, B =⎥⎦⎤⎡⎢⎣301−2，则方阵A的特征多项式为(λ−1)(λ−3)。这涉及到了矩阵的特征值和特征向量，以及特征多项式。
7. 方阵的相似性：如果3阶方阵A使得I−A, 2I−A, A+3I都不可逆，那么A与对角阵⎥⎥⎦⎤⎢⎡⎢⎣00−3020001相似。相似性涉及到矩阵的Jordan标准形和特征值。
8. 矩阵的秩与向量线性相关性：如果n阶矩阵A满足A2 = 2A，那么矩阵A可能的特征值是0和2。如果A不是2的特征值，那么A不能是零矩阵，因为A^2 = 2A意味着A(A-I) = 0，而A不等于0，所以A-I是可逆的。
9. 矩阵乘积的秩：设A, B都是3阶方阵，AB = O，r(A) - r(B) = 2，那么r(A) + r(B)的可能值是D。秩的性质表明，如果AB = 0，那么r(A) + r(B) ≤ min{m, n}，其中m是A的列数，n是B的行数。
10. 齐次线性方程组的基础解系：齐次线性方程组Ax = θ的一个基础解系是ξ = [2, −1, −1, 1]T。这意味着任何解都可以表示为这个基础解系的线性组合。
11. 矩阵的秩与线性相关性：设A, B都是3阶方阵，AB = O，r(A) - r(B) = 2，那么r(A) + r(B)的值无法确定，只能给出可能的值。
12. 直线的垂直投影：求直线l:21112+=−zx−2 = y在平面π : x + y − 2z + 1 = 0上的垂直投影直线方程，涉及到了直线和平面的相互关系。
13. 系统解的构造：XA = AB + X，通过矩阵运算求解X，展示了矩阵方程的求解方法。
以上就是题目涉及的主要知识点，涵盖了矩阵运算、矩阵性质、线性方程组、空间几何等多个方面。
