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NA006a线性方程组求解 1

网络

线性代数

最小二乘法

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第六章线性方程组的解法/* Method for Solving Linear Systems */2线性方程组的两种数值解法经过有限步算术运算，可求得方程组

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• 引言/* Introdction */

线性代数方程组出现在工程与科学的许多领域中，

而且很多数值求解问题最后也是导致于求解某些线性

代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样

中建立三次样条函数问题，用最小二乘法求实验数据

的曲线拟合问题，解非线性方程组问题，用差分法或

者有限元方法解常微分方程、偏微分方程边值问题等。

众多的事实表明，解线性代数方程组的有效方法在计

算数学和科学计算中具有特殊的重要性。

第六章线性方程组的解法

/* Method for Solving Linear Systems */

线性方程组的两种数值解法

经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方

法（若计算过程中没有舍入误差）。

用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。

•迭代法/* Iterative Methods */

直接法是解低阶稠密方程组的有效方法。

•特点

•直接解法/* Direct Methods */

迭代法是解大型稀疏方程组（尤其是由微分方程离散

后得到的大型方程组）的重要方法。

Introdction

RXX 



YXYX 

则称是向量 Х 的范数。

)(XN

我们用表示

维实向量的空间。

§1 向量与矩阵范数\*Norms of Vectors and Matrices *\

如果向量的某个实值函数

满足条件

RX 

||||)( XXN 

定义

§1 Norms of Vectors and Matrices

（正定性 /* positive definite */ )

(齐次性 /* homogeneous */ )

（三角不等式 /* triangle inequality */ )



向量范数/* Vector norms */

0(0  XX

当且仅当

)0X

1- 范数（最大范数）









max

§1 Norms of Vectors and Matrices





2- 1—范数

4- p—范数

)(





2/1



















3- 2—范数（长度）

例计算向量的各种范数

 

X 321 

解：

6321

X

3)3,2,1max( 



143)2(1

222

X

几种常用的向量范数

向量序列收敛于向量是指对每一个 1  i  n 都

有。

}{

)(k

*)(

lim

xx 



定义

可以理解为

0||||

*)(





定义

若存在常数C > 0 使得对任意有 , 则

称范数 || · ||

比范数 || · ||

强。

RX 

XCX |||||||| 

若范数 || · ||

比|| · ||

强，同时|| · ||

也比|| · ||

强，即存

在常数 C

、C

> 0 使得，则称 || · ||

和|| · ||

等价。

BAB

XCXXC ||||||||||||



定义

定理

上一切范数都等价。

可以理解为对任何

向量范数都成立。

§1 Norms of Vectors and Matrices

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