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NA006b线性方程组求解1
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NA006b线性方程组求解1
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1
§4 三角分解法 /* Matrix Factorization */
高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G.E. */:
Step 1:
)0(/
111111
aaal
ii
1
.
.
.
1
1
1
21
n
l
l
记 L
1
= ,则
][
)1()1(
1
bAL
)1(
1
)1(
1
)1(
11
... baa
n
)2(
A
)2(
b
Step n 1:
)(
)2(
2
)1(
1
)(
)2(
2
)2(
22
)1(
1
)1(
12
)1(
11
121
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
n
n
n
nn
n
n
nn
b
b
b
a
aa
aaa
bALLL
其中
L
k
=
1
1
1
,
,1
kn
kk
l
l
2
§4 Matrix Factorization – Matrix Form of G.E.
1
k
L
1
.
.
.
1
1
,
,1
kn
kk
l
l
1
1
1
2
1
1
...
n
LLL
1
1
1
ji
l
,
记为
L
单位下三角阵
/* unitary lower-triangular matrix */
记 U =
)(
)2(
2
)2(
22
)1(
1
)1(
12
)1(
11
.
.
.
...
...
...
n
nn
n
n
a
aa
aaa
LUA
A 的 LU 分解
/* LU factorization */
Hey hasn’t GE given me
enough headache? Why
do I have to know its
matrix form??!
When you have to
solve the system for
different with a fixed
A.
b
Could you be more
specific, please?
Factorize A first, then
for every you only have to
solve two simple triangular
systems and
.
b
byL
yxU
3
由上述讨论可知,高斯消去法实质上产生了一个将系数
矩阵
A
分解为上三角阵与下三角阵相乘的因式分解。
证明:由§2中定理可知,LU 分解存在。下面证明唯一性。
若不唯一,则可设 A = L
1
U
1
= L
2
U
2
,推出
1
21
UU
2
1
1
1
222
1
1
LLUULL
Upper-triangular
Lower-triangular
With diagonal
entries 1
I
定理
设A为n阶矩阵,如果A的顺序主子式 /* determinant
of leading principal submatrices */ ,则
A 的 LU 分解唯一(其中 L 为单位下三角阵)。
)1,,2,1(0 niD
i
考虑A非奇异,奇异时见教材p170的证明。
注: L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为
Crout 分解。
实际上只要考虑 A
T
的 LU 分解,即 ,则
即是 A 的 Crout 分解。
ULA
T
~~
TT
LUA
~~
4
§4 Matrix Factorization – Matrix Form of G.E.
设有方程组
AX=b,
并设
A=LU
,于是
AX=LUX=b
令
UX=Y,
则
LY=b.
于是求解
AX=b
的问题等价于求解两个方程组
UX=Y
和
LY=b
1
1
( 1,2, , )
i
i i ij j
j
y b l y i n
(1)利用顺推过程解
LY=b,
其计算公式为:
(2)利用回代过程解
UX=Y,
其计算公式为:
1
( )/ ( , 1, ,1)
n
i i ij j ii
ji
x y u x u i n n
5
=
12 -8 6 10
6 -2 2 4
3 -13 9 3
-6 4 1 18
利用Gauss消元法分解(顺序或列选主元)
例
0 -4 2 2
0 -12 8 1
0 2 3 -14
6 -2 2 4
12/6
3/6
-6/6
= l
21
= l
31
= l
41
A =
A
(1)
=
=
6 -2 2 4
12 -8 6 10
3 -13 9 3
-6 4 1 18
- l
41
0 0 1
1 0 0 0
- l
21
1 0 0
- l
31
0 1 0
L
1
L
1
A
步1:
计算:
某行
=
该行
-
另一行
的
多少倍
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Xhinking
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