484 第八章 方差分析与回归分析
• r > 0 ，当 z 增加时，y有钱性增加趋势，此时称正相关；
• r < 0 ， 当 z 增加时，y 反而有线性减少趋势，此时称负相关；
•r= O,n 个点可能毫元规律，也可能量某种曲线趋势，此时称不（线性）相关．
(2）相关系敬的检验
记ρ 为二维总体的相关系数，于是可建立如下假设：
Ho ： ρ ＝ o vs H1 :p ¥= o.
对此，采用检验统计量 r ＝ 主」，拒绝域为
Jl .. l,,
W = l Ir I > r, - a ( n - 2) f ,
其中 r1 -a ( n - 1 ）是 l r l分布的 I － α 分位数，可查附表 9.
(3 ）检验统计量 r 与 F统计量之阎关系
2 F
r =F+{;- 2)’
这表明 I r l是 F 的严格增函数，所以相关系数检验与前面的 F检验也是等价的．
6. 估计与预测－一回归方程的应用
·当 X = x0 时，九＝ f3o + /3 ，兀。是 E(yo ） ＝ β。＋ β1句的点估计：
· 当 x =x0 时，E(ro ）＝β。＋β， Xo 的置信水平由 1 － α 的置信区间是［夕。－ lio'
1 Cxo - x)2 A ~ ro ＋δ。］，其中δ。叫”“＜ n-2)0- ／一＋一一「一， σ ＝ ,/MS二n £ • .
· 当 x =x0 时，Yo ＝β。 ＋β1Xo +B o 的 1 － α 预测区间是［九 － δ ，夕。 ＋ δ］，其中
J 一、 2δ ＝ δ （ x0 ) = t 1 _,.12 ( n - 2 ）丘 ／ 1 ＋士＋土二
注：E(ro ） 是未知参数，而 Yo 是随机变量． 对 E(ro ） 谈论的是置信区间，对h
谈论的是预测区间，两者是不同的，显然，预测区间要比置信区间宽很多．
要提高预测区间（置信区间也一样）的精度，即要使δ（或δ。）较小，这要求：
(1 ）增大样本量 n; (2）增大 t”，即要求 x. ，町，… ， x. 较为分散；（3 ） 使耳。靠近正
到题局’露答 8.4
1 .假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为
y, ＝ β x , + e , , i = 1 ,2 ,…,n,
E(e , ) = 0, Var(e i) ＝ 矿，诸观测值相豆油立．
( 1 ）写出 β 的最小二乘估计，和旷的无偏估计；
(2）对给定的句，其对应的因变量均值的估计为全。，求 Var（夕。 ）．
