高等数学是大学理工科专业的重要基础课程，涵盖了函数、极限、导数、微分、积分、微分方程等多个核心概念。这份试卷及其答案旨在帮助学生检验和巩固他们在上册学习的内容。
一、填空题考察了基本概念的理解。1. 函数的定义域是指函数中所有可能输入值的集合，它是确保函数有意义的x值范围。2. 对于函数在某点连续的条件，要求当a取某个特定值时，函数在该点的左极限、右极限和函数值相等。3. 无穷型间断点是函数在某点没有定义或者极限不存在，但两侧的函数值无限大。4. 可导性意味着函数在某点的切线存在，而导数等于切线斜率。5. 和6. 需要根据函数的具体表达式来计算。7. 阶微分方程指的是含有未知函数及其各阶导数的方程的阶数。8. 同样，这需要识别给定的微分方程的阶数。
二、极限问题测试了学生对极限计算的掌握。1. 第一个极限可能需要使用洛必达法则或等价无穷小替换。2. 第二个极限可能通过有理化或代数操作来简化。3. 第三个极限可能涉及指数和对数函数的性质。
三、导数与微分的计算是高等数学的核心。1. 要求导数，可以使用链式法则、乘积法则或商法则。2. 同样的，这个题目也需要应用导数的基本规则。3. 已知复合函数，需利用复合函数求导法则。
四、积分部分包括不定积分和定积分的计算。1. 不定积分通常涉及积分的基本公式和技巧。2. 定积分可能需要利用换元法或分部积分法。3. 这个积分可能涉及到特殊函数的积分。
五、曲线的切线与法线方程是微积分中的几何应用。切线斜率是曲线在该点的导数，法线斜率是切线斜率的负倒数。利用点斜式可以写出直线方程。
六、计算平面图形的面积和旋转体的体积涉及到定积分的应用。面积通常通过在边界函数之间找出积分区间并计算定积分得到；体积则通过旋转体的面积元素公式（如Disk/Washer或Shell方法）求得。
七、微分方程的通解需要找到其对应的齐次和非齐次解，然后组合成一般解。特征方程是解常系数线性微分方程的关键。
八、满足特定初始条件的特解是微分方程理论的重要组成部分。首先找到通解，然后代入初始条件来确定待定常数。
这份试卷涵盖了高等数学的基础和进阶内容，包括函数的性质、极限计算、导数与微分、积分运算、微分方程的求解以及这些知识在实际问题中的应用。通过解答这些问题，学生能系统地复习和巩固高等数学的知识体系。
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