Matlab工具箱求解偏微分方程

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使用Matlab偏微分方程工具箱对二维Possion方程进行了求解。附有详细求解步骤和说明文档,对于要使用工具箱进行偏微分方程求解的人员有重要参考意义。
2 MATLAB偏微分方程公具箱简介 3 2 Matlab偏微分方程公具箱简介 首先,启动 Matlab,出现界面如图1。 1夏 ATLAB n×|com金1 鱼四舀圆·8 To g=t s:artcd, sclcct ATLAB Hclp or J=mos rom trc Ho Curr ent 下午;23 save jieshi] ji shul : Ic %—13-1-4上午:20 PIEtccl -131-41午1:51 图1 Matlab界面 在命令行窗口〔 Command window)中输入:P冂 Etool,按 Enter键,即可出现偏微分工具箱 图形用户界面(GUI),见图2。 P:1e显dit ot留 indow 习田》9FDE△△Aa 03678 Set formula: 02 hla Draw 2-D geoMetry Exit 图2 PDEtool图形用户界亩 3待求偏微分方程及操作步骤 4 3待求偏微分方程及操作步骤 △a+t sin(x+y) in Q2 (32) 其中,表示以原点为圆心,半径为0.5的圆域。该偏微分方程是椭圆方程,边界条件是齐次 Dirichlet边界条件 3.1指定求解区域 首先要在 Matlab环境中指定求解区域。为美观起见,进行操作 Options→(rid和 Options→Axes Equal,使显示界面岀现网格并且两坐标轴等比例昱示,见图3 □」∞」 0.5 1.5 图3显示网格并两坐标轴等比例 在进行求解前设置 Options→Δ- pplication→ Generic scalar(也可根据实际情况选其它设置) 进行操作Draw→ Draw mode,进入绘制区域模式。再进行操作Draw→ Ellipse/ circle,则 可绘制圆域。具体操作为按住右键不动(左键是绘制椭圆而不是圆)在网格区域拉出一个适当的圆 域。然后左键双击该阴影区域,则弹出一个参数对话框,使圆心坐标为原点,半径为0.5,其余不变, 如图4,点击OK。 3待求偏微分方程及操作步骤 口庄》mnD△公 ancel xr= anr'nr silin nf arlrr可nj→, rnd name ntjrr if dr rr 三t 图4设定圆形域 上述操作后求解区域便设定好。 32进行三角形网格剖分 在利用有限元进行偏微分方程的求解时,要进行树格剖分,以产生有限元空间。二维区域常见的 有三角形剖分和四边形剖分。 Matlab偏微分方程工具箱选用的是三角形剖分,很方便。 首先Mesl→ Mesh mode,进入网格剖分模式,并同时产生一个较粗糙的三角形网格剖分。 般地,需要加细网格,只要 Mesh->Rcfinc mosh即可。每进行操作 Rcfinc mosh一次,网格加细 次。注意不可加细太多次,以免内存不够,使求解失败。加细一次后的效果可见图5 Tile Edit 0>tioas Dr w EouncarT PDE Mesh Solve Plot indow FelD 口|?P|△公|一气[mesa 图5进行三角网格剖分 3待求偏微分方程及操作步骤 3.3指定边界条件 进行操作 Boundary∽ Boundary mode则进入边界糸件模式。然后 Boundary→ Specify Boundary Conditions,弹岀边界条件对话柱,见图6,选中 Dirichlet,设置 即可 巴世⌒[ XU∠U unary condition equallen 0 图6指定边界条件 3.4设置偏微分方程 菜单栏执行 PDE PDE Modc,则进入偏微分方程设置模式。执行 PDE-PDE Specifica tion,弹出参数设置对话框。如图图7,选中 Elliptic,令 1.0,a=1.0,f=sin(x.2+y.^2) 设置偏微分方程完毕 3待求偏微分方程及操作步骤 口庄》mnD△公 C:1U5 S=t farm PDE UI f⊥彩aL⊥Un ○+ peroId OK nrrif'y ypr f FrF and apF 三t 图7设置偏微分方程参数 3.5求解及结果显示 所有条件已准备好,下面求解该偏微分方程。 在正式求解前,先决定好要显示的结果,下面先给出解的平面彩色图,颜色深浅代表解值的人 菜单栏中执行Plot→ Parameters,则弹出 Plot section对话框。如图8所示,选中 Color, Colormap选定hot,然后点击下方 Close,至此可以求解偏微分方程。 口庄P0E公A|=s 0. Cancel c: 3pccifr olot Proparty and Flctyoc 图8结果显示设置 3待求偏微分方程及操作步骤 在菜单栏依次点击 Solvc>Paramctcrs,则弹出一个对话框,选中 Adaptive Modc,其余不 变。再执行 Solve→ Solve pd,则求解开始。完毕后就会出现解的平面彩色图,见图9 APDE I 「7AA顽只mhs nfc: 3clcct ansv po, or cHange ncd= tc alt=r TCE, mcch, or bordar 图9偏微分方程的解 也可以三维图形显示解,高度是解值n的大小。具体操作为待图9出现后,如图8,再选中 Height(3- D plot),点击卜方左边Plot,使会蝉出一个图形界面,如图10 FIgure I Color: u Height: u 35 25 1 15 05 050.5 图10偏微分方程解的三维图示 负梯度方向是解的下降方向,下面显示解在各点处的负梯度方向。在菜单栏进行操作 Plot→ Parameters,弹出 Plot section对活框,仅选中 Arrows,相应 Property选择-grad(u) ,见图11。然后点击下方左边plot,在GUI界面中就会出现负梯度示意图,如图12。 3待求偏微分方程及操作步骤 Fat Shav mesh Catel 图11负棁度参数选择 zile Lait Otine nra Eommrary PIF We sh Salve plot HindmwEaln 中<xH|=顽lmhs 图12负梯度

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