矩阵理论课件

### 矩阵理论课件知识点总结 #### 一、行列式 **1.1 行列式的定义与性质** 行列式是线性代数中的一个重要概念，它是由一个正方形矩阵的元素按照一定规则组成的标量值。给定一个\( n \times n \)的矩阵\( A \)，其行列式表示为\( D(A) \)或简写为\( |A| \)。 **定义**：对于一个\( n \times n \)的矩阵\( A = (a_{ij}) \)，其行列式\( D \)定义为所有\( n! \)项的代数和： \[ D = \sum_{\sigma \in S_n} (\text{sgn}(\sigma)) \prod_{i=1}^{n} a_{i\sigma(i)} \] 其中\( S_n \)表示所有\( 1,2,\ldots,n \)的排列集合，\( \text{sgn}(\sigma) \)表示排列\( \sigma \)的符号，即偶排列时为+1，奇排列时为-1。 **1.2 行列式的性质** 行列式具有以下性质： 1. **交换行或列**：交换行列式中的任意两行或两列，则行列式的值变号。 2. **比例行或列**：如果行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为0。 3. **行加运算**：若行列式的某一行（列）的各元素都乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 4. **线性组合**：如果行列式中某一行（列）可以表示为另外两行（列）的线性组合，则该行列式的值为0。 5. **三角行列式**：对于一个上（下）三角形矩阵，其行列式等于主对角线上元素的乘积。 **1.3 行列式的应用** - **求平面三角形的面积**：给定三角形三个顶点\( (x_1, y_1) \)，\( (x_2, y_2) \)，\( (x_3, y_3) \)，则三角形的面积\( S \)可以通过行列式计算得出： \[ S = \frac{1}{2}\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right| \] - **求空间四面体的体积**：给定四面体四个顶点\( (x_1, y_1, z_1) \)，\( (x_2, y_2, z_2) \)，\( (x_3, y_3, z_3) \)，\( (x_4, y_4, z_4) \)，则四面体的体积\( V \)可以通过行列式计算得出： \[ V = \frac{1}{6}\left| \begin{array}{cccc} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{array} \right| \] **1.4 行列式的MATLAB计算** MATLAB提供了内置函数`det()`用于计算矩阵的行列式。例如： ```matlab a = [2 3 4; 6 7 8; 9 10 11]; d = det(a) ``` 也可以使用`magic(n)`生成一个\( n \times n \)的魔方矩阵，并计算其行列式： ```matlab d = det(magic(5)) ``` #### 二、解线性方程组 **2.1 克莱姆法则** 克莱姆法则提供了一种判断线性方程组是否存在唯一解的方法，并给出了求解的具体公式。设有一个线性方程组\( Ax = b \)，其中\( A \)是\( n \times n \)的矩阵，\( x \)和\( b \)分别是未知向量和已知向量。 - **解的存在性和唯一性**：如果系数矩阵\( A \)的行列式\( D(A) \neq 0 \)，则方程组有唯一解。 - **解的表达式**：如果\( D(A) \neq 0 \)，则方程组的解为\( x_j = \frac{D_j}{D(A)} \)，其中\( D_j \)是将\( A \)的第\( j \)列替换为向量\( b \)后所得的行列式。 **2.2 多项式拟合** 通过克莱姆法则，可以证明过平面上\( n+1 \)个不同点的次数不超过\( n \)的多项式存在且唯一。例如，用MATLAB进行4阶多项式拟合： ```matlab x = linspace(0, 2*pi, 5); y = cos(x); p2 = polyfit(x, y, 4); xx = linspace(0, 2*pi, 100); y2 = polyval(p2, xx); yy = cos(xx); plot(x, y, 'go', xx, y2, 'b-', xx, yy, 'r-'); title('用4阶多项式拟合cos(x)'); ``` **2.3 求解线性方程组的MATLAB实现** MATLAB提供了多种方法求解线性方程组\( Ax = b \)，例如求逆法： ```matlab A = [1 2; 3 4]; b = [5; 6]; x = inv(A)*b; ``` 以上内容详细介绍了矩阵理论中的行列式定义、性质以及应用，同时还包括了解线性方程组的克莱姆法则及MATLAB实现方法。这些知识点对于深入理解线性代数及其实际应用具有重要意义。