根据给定文件中的信息，我们可以总结出以下有关“矩阵论”的关键知识点：
### 矩阵论基础概念
#### 集合与映射
**集合**：集合是指可以被视为一个整体的一组对象。集合可以通过列举法或者性质法来定义。
- **列举法**：直接列出集合中的所有元素。
- **性质法**：通过定义集合内元素所应具备的特定性质来描述集合。
**集合相等**：两个集合\( S_1 \)和\( S_2 \)相等，如果它们包含相同的元素。
**集合间的操作**包括交集(\( S_1 \cap S_2 \))、并集(\( S_1 \cup S_2 \))和和运算(\( S_1 + S_2 \))等。
#### 数域
**数域**是指关于加减乘除四则运算封闭的数的集合。常见的数域包括：
- 实数域\( \mathbb{R} \)
- 复数域\( \mathbb{C} \)
- 有理数域\( \mathbb{Q} \)
#### 映射
**映射**是一种数学关系，它将一个集合\( S_1 \)中的每个元素映射到另一个集合\( S_2 \)中的唯一元素。如果\( S_1 = S_2 \)，那么这种映射被称为变换。
### 线性空间基本理论
**线性空间**（也称为向量空间）是集合\( V \)和数域\( K \)的组合，其中定义了两种运算：加法和数乘，并满足一定的公理。
#### 线性空间的公理
- **加法**：
- 封闭性：对于\( V \)中的任何元素\( x \)和\( y \)，\( x + y \)也在\( V \)中。
- 结合律：对于\( V \)中的任何元素\( x \)、\( y \)和\( z \)，有\( (x + y) + z = x + (y + z) \)。
- 交换律：对于\( V \)中的任何元素\( x \)和\( y \)，有\( x + y = y + x \)。
- 零元：存在一个特殊元素\( \theta \in V \)，对于\( V \)中的任何元素\( x \)，有\( x + \theta = x \)。
- 负元：对于\( V \)中的任何元素\( x \)，存在一个元素\( -x \in V \)，使得\( x + (-x) = \theta \)。
- **数乘**：
- 封闭性：对于\( K \)中的任何元素\( k \)和\( V \)中的任何元素\( x \)，\( kx \)也在\( V \)中。
- 分配律：对于\( K \)中的任何元素\( k \)、\( l \)以及\( V \)中的任何元素\( x \)、\( y \)，有\( k(x + y) = kx + ky \)和\( (k + l)x = kx + lx \)。
- 结合律：对于\( K \)中的任何元素\( k \)、\( l \)以及\( V \)中的任何元素\( x \)，有\( (kl)x = k(lx) \)。
- 单位元：对于\( K \)中的单位元素1和\( V \)中的任何元素\( x \)，有\( 1x = x \)。
#### 线性空间的例子
- **向量空间**：例如\( \mathbb{R}^n \)表示所有\( n \)维实数向量组成的集合。
- **矩阵空间**：例如\( \mathbb{R}^{m \times n} \)表示所有\( m \times n \)实数矩阵组成的集合。
- **多项式空间**：例如\( P_n \)表示所有次数不超过\( n \)的实系数多项式组成的集合。
- **函数空间**：例如\( C[a,b] \)表示所有在区间\([a,b]\)上连续的实值函数组成的集合。
- **复向量空间**：例如\( \mathbb{C}^n \)表示所有\( n \)维复数向量组成的集合。
- **复矩阵空间**：例如\( \mathbb{C}^{m \times n} \)表示所有\( m \times n \)复数矩阵组成的集合。
#### 特殊线性空间的例子
文件中还给出了一个特殊的线性空间——正实数集合\( \mathbb{R}_+ \)的例子。在这个例子中，集合\( \mathbb{R}_+ \)被定义为所有正实数的集合，其数域\( \mathbb{R} \)为全体实数的集合。通过定义正实数集合上的特殊加法和数乘运算，证明了\( \mathbb{R}_+ \)构成一个线性空间。
以上是对给定文件中提到的主要知识点的详细解释，这些概念构成了矩阵论课程的基础部分，对于深入理解线性代数具有重要意义。
