矩阵理论第 10 讲 -1
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论 - 第十讲
兰州大学信息科学与工程学院
2004 年
矩阵理论第 10 讲 -2
兰州大学信息科学与工程学院
上节内容回顾
•
矩阵的幂级数
•
方阵幂级数收敛的判别定理
：收敛半径为 r
：谱半径为
绝对收敛
发散
绝对收敛
–
Neumann 级数收敛充要条件
收敛
n n
A C
( 0,1, ,)
k
a C k
n n
A C
0
k
k
k
a A
0
k
k
k
a z
( )A
( )A r
0
k
k
k
a A
( )A r
0
k
k
k
a A
A r
0
k
k
k
a A
( )A A
:
n n
C R
0
k
k
A
( ) 1A
1
0
( )
k
k
A I A
矩阵理论第 10 讲 -3
兰州大学信息科学与工程学院
上节内容回顾
•
矩阵函数
收敛的矩阵幂级数 在矩阵集合 与
之间建立了一个（多对一）映射
称之为矩阵函数。此矩阵幂级数的和 S 为 A 在映射 f 下的象，记为
•
矩阵函数的计算
–
利用 Hamilton-Cayley 定理
–
利用相似对角化
–
利用 Jordan 标准形
–
利用矩阵多项式
:
n n n n
f C C
( )S f A
0
k
k
k
a A
n n
C
n n
C
矩阵理论第 10 讲 -4
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矩阵的微分和积分
–
函数矩阵的微分和积分
–
高等数学中函数的和、乘积、复合函数的求导法则适用于函数矩阵的
微分
( ) ( ( ))
ij m n
A t a t
( ) ( ( ))
ij m n
A t a t
( ) ( ( ))
ij m n
d d
A t a t
dt dt
( ) ( ( ) )
b b
ij m n
a a
A t dt a t dt
( ( ) ( )) ( ) ( )
d d d
A t B t A t B t
dt dt dt
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
d d d
t A t t A t t A t
dt dt dt
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
d d d
A t B t A t B t A t B t
dt dt dt
( ) ( ) ( )
d d
A u f t A u
dt du
( )t C
矩阵理论第 10 讲 -5
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矩阵的微分和积分
( ) ( ( ))
ij m n
A t a t
( ) ( ( ))
ij n p
B t b t
1
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
n
ik kj m p
k
d d
A t B t a t b t
dt dt
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1
( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i j i j in nj m p
i j i j in nj
m p
i j i j i j
d
a t b t a t b t a t b t
dt
d d d
a t b t a t b t a t b t
dt dt dt
d d d
a t b t a t b t a t b t
dt dt dt
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i j i j i j
m p
d d d
a t b t a t b t a t b t
dt dt dt
( ) ( ) ( ) ( )
d d
A t B t A t B t
dt dt
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