在数字信号处理领域，IIR（无限冲激响应）滤波器是一种常见的信号处理工具，因其卓越的频率响应特性而广泛应用于音频、通信和图像处理等多个领域。本篇将详细探讨如何利用Butterworth近似法设计两种类型的IIR滤波器：低通和高通滤波器。
99.1 低通IIR滤波器的设计：
Butterworth滤波器以其平坦的通带和渐近线性的滚降特性著称。设计一个低通IIR滤波器首先需要确定其关键参数。给定的参数为：
- 通带边缘频率Fp = 100 Hz
- 停止带边缘频率Fs = 600 Hz
- 通带纹波ap = 1 dB
- 最小停止带衰减as = 32 dB
- 采样频率FT = 2 kHz
1. **计算归一化频率**：将频率转换为归一化的形式，即除以采样频率。因此，Fp' = Fp / FT = 100 / 2000 = 0.05，Fs' = Fs / FT = 600 / 2000 = 0.3。
2. **选择滤波器阶数**：根据通带纹波和停止带衰减要求，可以使用图表或经验公式来估算滤波器阶数。对于32 dB的最小停带衰减，通常需要较高的阶数，可能需要6到8阶甚至更高。
3. **构建Butterworth滤波器的频率响应**：Butterworth滤波器的频率响应是通过满足最大平坦度条件的偶对极点对生成的。极点位于单位圆上的特定角度，这些角度与归一化的频率点有关。可以使用Bilinear变换或直接设计算法来找到这些角度。
4. **设计滤波器系数**：根据计算出的极点位置，确定滤波器的系数。这通常涉及到求解一组线性代数方程。
5. **验证设计**：设计完成后，通过仿真或实际实现验证滤波器的性能，确保满足设计规格。
9.2 高通IIR滤波器的设计：
设计高通滤波器与低通滤波器类似，但需要对某些步骤进行调整，以改变频率响应的形状。给定参数为：
- 通带边缘频率Fp = 600 Hz
- 停止带边缘频率Fs = 100 Hz
- 通带纹波ap = 1 dB
- 最小停止带衰减as = 32 dB
- 采样频率FT = 2 kHz
1. **计算归一化频率**：Fp' = Fp / FT = 600 / 2000 = 0.3，Fs' = Fs / FT = 100 / 2000 = 0.05。
2. **选择滤波器阶数**：与低通滤波器相同，根据ap和as选择合适的阶数。
3. **构建Butterworth滤波器的频率响应**：对于高通滤波器，需要在单位圆上找到那些使得频率响应在Fs'处为零的极点。这可以通过将低通滤波器的极点映射到对角线上来实现。
4. **设计滤波器系数**：与低通滤波器相似，但需要考虑极点映射后的变化。
5. **验证设计**：同样需要通过仿真或实际测试来确认滤波器性能。
在实际应用中，滤波器设计可能还需要考虑到额外因素，如稳定性、实时性以及硬件实现的复杂性。同时，对于不同的应用场景，可能还需要优化滤波器的其他性能指标，如相位响应和群延迟等。在理解了基本设计步骤之后，可以根据具体需求调整和优化滤波器。
