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Basics of Linear Algebra for
Machine Learning
Discover the Mathematical
Language of Data in Python
Jason Brownlee
i
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mechanical, recording or by any information storage and retrieval system, without written permission
from the author.
Acknowledgements
Special thanks to my copy editor Sarah Martin and my technical editors Arun Koshy and Andrei
Cheremskoy.
Copyright
Basics of Linear Algebra for Machine Learning
©
Copyright 2018 Jason Brownlee. All Rights Reserved.
Edition: v1.1
Contents
Copyright i
Contents ii
Preface iii
I Introduction v
Welcome vi
Who Is This Book For? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
About Your Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
How to Read This Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
About the Book Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
About Python Code Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
About Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
About Getting Help . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
II Foundations 1
1 Introduction to Linear Algebra 2
1.1 Tutorial Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Numerical Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Linear Algebra and Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Applications of Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Linear Algebra and Machine Learning 7
2.1 Reasons to NOT Learn Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Learn Linear Algebra Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Learn Linear Algebra Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Learn Linear Algebra for Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Learn Matrix Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ii
CONTENTS iii
2.6 Learn Linear Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 One More Reason . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Examples of Linear Algebra in Machine Learning 11
3.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Dataset and Data Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Images and Photographs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 One Hot Encoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5 Linear Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.6 Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.7 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.8 Singular-Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.9 Latent Semantic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.10 Recommender Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.11 Deep Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.12 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III NumPy 16
4 Introduction to NumPy Arrays 17
4.1 Tutorial Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 NumPy N-dimensional Array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Functions to Create Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Combining Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.6 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Index, Slice and Reshape NumPy Arrays 23
5.1 Tutorial Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2 From List to Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Array Indexing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4 Array Slicing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.5 Array Reshaping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.6 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.7 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 NumPy Array Broadcasting 35
6.1 Tutorial Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Limitation with Array Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3 Array Broadcasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.4 Broadcasting in NumPy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.5 Limitations of Broadcasting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CONTENTS iv
6.7 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
IV Matrices 43
7 Vectors and Vector Arithmetic 44
7.1 Tutorial Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 What is a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Defining a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.4 Vector Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.5 Vector Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.6 Vector-Scalar Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.7 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.8 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8 Vector Norms 53
8.1 Tutorial Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Vector Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.3 Vector L
1
Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.4 Vector L
2
Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.5 Vector Max Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.6 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.7 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
9 Matrices and Matrix Arithmetic 58
9.1 Tutorial Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.2 What is a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.3 Defining a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.4 Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.5 Matrix-Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.6 Matrix-Vector Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.7 Matrix-Scalar Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.8 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.9 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10 Types of Matrices 71
10.1 Tutorial Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.2 Square Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.3 Symmetric Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.4 Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.5 Diagonal Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.6 Identity Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.7 Orthogonal Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
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