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各向异性粘弹性的介质中的斯奈尔的定律的应用
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2013-05-30
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各向异性粘弹性的介质中的斯奈尔的定律的应用
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各向异性粘弹性的介质中的斯奈尔的定律的应用
The Snell's laws at interfaces in anisotropic viscoelastic media
各向异性粘弹性的介质中的斯奈尔的定律的应用
总结
光在各向异性粘弹性介质界面的研究使用三种不同的方法, 真正的弹性射线理论,真正
的粘弹性射线理论和复射线理论, 在解决复杂的程函方程,最高精度是通过复杂的射线
理论实现的.真正的弹性和粘弹性射线理论不准确但计算上更有效,在所有的三个方法,
射线在界面处服从斯奈尔定律,复杂的斯奈尔定律约束复杂的切向组件的慢度向量,但它
的形式对于每个方法是不同的。
真正的粘弹性和弹性的斯奈尔定律约束真正的切向分量的缓慢向量,在粘弹性射线理论,
除了斯奈尔定律, 静止缓慢向量的条件应用于计算光线的散射波,数值测试的理论方法
是应用于解决复杂程函方程,介质中模型中包含衰减各向同性和各向异性均匀的半空间。
这个级别的衰减范围从非常强(Q = 2.5-3)向温和的衰减(Q = 25-30 ),数值模拟表明,
真正的粘弹性射线方法是高度准确的被至少 20 倍比真正的弹性线准确方法。
射线理论应用于在各向异性波传播问题,在最近几年的非均匀和衰减媒体集中的研究,
射线理论产量的一个高频近似值在大部分的地震应用中是比较精确的,计算量非常小就其
他方法解决运动方程和数值(Carcione 1990, 1993; Saenger & Bohlen 2004;
Moczo et al. 2004, 2007),到目前为止,一些射线理论方法求解程函方程和造型的波在
各向异性衰减媒体已经开发出来。
最简单的方法是在弹性介质中构建射线和其他射线数量,将引用作为扰动影响的衰减,
(Gajewski & Pšenčík 1992; Vavryčuk 2008b)然而,本程序只有适用于弱衰减媒体,
另外,几个作者试图发展理论的复杂射线,衰减是纳入波造型取代实弹性参数的复数和频
率相关粘弹性参数。因此,程函方程和其他射线方程变得复杂和他们的解决方案是寻求在
复杂的空间。复杂的射线理论是非常准确的解决复杂程函方程和适用于各向异性和衰减的
任意强度,不幸的是,这个理论是计算复杂,受制于成功建立速度模型在复杂的空间。
另一个射线理论方法是Vavry uč 提出的适用于解决复杂的光程函数方程和称为真正的粘
弹性射线,它产生真正的射线,但所有量沿射线是复数,这种方法是基于假设复杂缓慢矢
量沿射线是静止的而复杂的能量速度向量载是同性的,粘弹性的方法是更少的粘弹性线准
确比复杂的射线方法,但已经被证明是有效的和更精确的比弹性射线方法。
到目前为止,粘弹性射线理论已被研究开发,并且所有的数值进行过试验在顺利不均匀的
媒体,在本文中这个理论是由推导公式完成行为的射线在接口在各向异性衰减媒体,结果
表明,波浪的光线散射埃德必须服从斯奈尔定律,这是类似但不完全相同的和斯奈尔定律
在弹性介质,派生的理论公式进行数值试验解决复杂程函方程模型中各向同性和各向异性
均匀半空间级别不同的衰减,活跃的光线跟踪的粘弹性与生产的实际弹性射线追踪和复杂
的射线追踪
2.各向异性粘弹性介质
2.1. Notation
在公式,真实与虚构的部分的数量是superscripts复数用R and和I
,
一个复杂的共轭量用
星号v是
,上标T意味着换位,复数向量v的大小是复杂的,是计算 ,如果任何复数向量定义为
一个实方向,则它被称为均匀,如果是用一个复数的方向定义的,则它是不均匀的
除了标准的四个指数表示法为 粘弹性参数a ijkl ,质量参数 q ijkl ,两个指数沃伊特符号
MN A
和
MN Q
,
沃伊特符号的结合了双指数i,j和k,l成单一指数M和N使用以下规则
(1)
数量在频域计算使用傅里叶变换定义为
(2)
在公式,中爱因斯坦求和的约定应用于重复下标
2.2 Viscoelastic parameters
一个粘弹性介质是由密度规范化的一个粘弹性参数a ijkl那是,一般来说,复数,频率相关,并
随位置向量x,真实的和虚构的部分a ijkl,
(3)
定义弹性和粘性性质的介质,实部和虚步 之间的比例的部分称为矩阵的质量因子参数
, (4)
和质量如何在介质中衰减,实部和虚步 的之间的比例被称为矩阵的品质因子参数,
(4)等式中的记号依赖于(2)中的傅里叶变换应用于计算频率域的粘弹性参数,当应
用傅里叶变换的指数项
exp(− iwt ),( 4)中减掉的部分必须被省略掉。
U=U(x,w)是个位移,p=p(x)是介质的密度,密度规范化的粘弹性参数aijkl
是介质
的
密度规范化的粘弹性参数,w是角速度,w频率,p介质密度,位置向量x是实值,粘弹
性参数a,位移x是复数,位移u是是描述简谐波信号的,
u (x w) =U (x) exp[iwt (x)], (6)
u 是 复 数 温 度 差 , t 是 旅 行 时 , 参 考 上 述 方 程 , 我 们 获 得 程 函 方 程 的 形 式 ,
(7)
G是特征值,g是归一化的复数特征向量,g ×g =1,克氏的张量的波研究,(P, S1 or
S2), , (8)
矢量p是复数向量定义为
(9)
3.真正的粘弹性射线追踪在不均匀顺利媒体
3.1各向异性介质
程函方程(7)的也可以用下面的一般形式(参考Červený, 2001, Eq. 3.6.3)
(10)
H = H(x,p)是哈密顿吗,程函方程的在哈密顿形式(10)代表一个非线性偏微分方程的复杂
的旅行时间t = t(x),
这个方程可以解决到底用复射线跟踪方程复数的广义坐标x和p(见5.1节),它也可以解决大
约通过实际的粘弹性射线跟踪方程实广义坐标x和R p(见Vavry uk 2008 a),č
(11)
逆量 是射线速度 ,
(12)
这意味着速度的物理信号传播沿射线。方程(11)和(12)是如下定义
(13)
真正的粘弹性射线跟踪方程是
(14)
替换(7)成(14)得到(参见Vavry uk 2008č 一个,29岁,35和A7方程式)
(15)
(16)
(17)
在能量速度向量v
(18)
是一个复杂的齐次向量,这意味着真正的和虚构的部分能量速度矢量平行,这种状况限制
了可能的值的复杂缓慢向量和意味着真实和虚构的部分慢度向量在光线方程并不是独立的,
缓慢的矢量预测一个均匀能量速度矢量,称为固定(见Vavry uk 2007 a,b)č ,向量是静止的缓
慢,一般来说,不均匀。这个过程,如何计算固定缓慢矢量p中描述Vavry uk(2008 a)č 。
3.2各向同性介质
在各向同性介质的克氏张量本征值G为:
(19)
其中c是复数的相速度, 是P波, 是对于s波,参数 , 是复数
系数,矢量p是复数的缓慢向量, ,其重要性是p = 1 / c, ,τ是复数的
旅行时间,能量速度向量v是均匀的
(20)
慢度矢量p也必须均匀,这简化了射线追踪问题,和光线方程在各向异性介质(15)-(17)简化
为 下 面 的 形 式 在 各 向 同 性 介 质 ( 见 Vavry uk 2008 a,č 方 程 式 39 和 A7)
(21)
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