### 数学建模全赛及美赛必备课件（北邮）
#### 一、数学建模的概念
数学建模作为一种连接数学理论与实际问题的重要桥梁，对于培养学生的创新能力、解决问题的能力有着不可替代的作用。数学是研究数量关系和空间形式的科学，其与现实世界的紧密联系不仅体现在数学的发展上，也体现在其对其他学科的支持作用上。随着计算机技术的进步，数学建模已经成为解决实际问题的强大工具。
**数学模型**是通过简化假设和抽象，将实际问题转化为数学结构的过程。这包括但不限于方程组、最优化问题等形式。数学建模不仅仅关注于数学公式的推导，更重要的是能够理解和表达现实世界中的复杂现象，并且能够通过这些模型来指导决策。
#### 二、数学建模的流程
- **模型准备**：了解问题背景、明确建模目的、收集相关信息和数据。
- **模型假设**：根据问题特点和建模目的，对问题进行合理简化。
- **模型构成**：将问题抽象为数学结构，形成数学模型。
- **模型求解**：采用适当的方法和技术求解模型。
- **模型分析**：对模型结果进行数学分析，如敏感性分析等。
- **模型检验**：验证模型的有效性和合理性。
- **模型应用**：将模型结果应用于实践中，解决问题。
#### 三、引例分析
- **椅子的平稳放置问题**：通过数学建模分析，证明了四脚椅子在不平地面上通过移动可以实现四脚同时接触地面的必然性。
- **商人过河问题**：通过逻辑推理和组合策略找到安全过河的方法，避免了随从人数超过商人时可能出现的安全风险。
#### 四、数学建模的基本方法步骤详解
1. **模型准备**：在着手建模之前，必须深入了解问题的背景，明确建模的目标。例如，在人口增长预测模型中，需要收集关于出生率、死亡率等相关数据。
2. **模型假设**：合理假设是数学建模的关键。比如，在预测人口增长时，可能会假设出生率和死亡率保持不变或遵循一定的趋势变化。
3. **模型构成**：将问题转换为数学语言。比如，在人口增长模型中，可以使用微分方程来描述人口的变化规律。
4. **模型求解**：选择合适的数学工具和技术来求解模型。例如，在人口增长预测模型中，可以通过数值模拟或解析方法来求解微分方程。
5. **模型分析**：分析模型的结果，确保其合理性。例如，对人口增长模型进行敏感性分析，评估不同参数变化对结果的影响。
6. **模型检验**：将模型结果与实际情况进行对比，验证模型的有效性。例如，比较模型预测的人口数量与实际统计数据。
7. **模型应用**：将经过检验的模型结果应用于实际决策中。例如，基于人口增长预测模型的结果制定公共政策。
#### 五、Mathematica介绍
- **Mathematica**是一款功能强大的数学软件，支持符号计算、数值计算等多种计算方式，广泛应用于科学研究、工程设计等领域。
- **易学易用**：Mathematica具有友好的用户界面，支持自然语言输入，使得初学者也能快速上手。
- **丰富的功能库**：内置了大量的数学函数库，支持高级计算任务，如线性代数、微积分、图形绘制等。
- **编程支持**：支持编程，可以创建复杂的计算脚本，方便进行大规模数据分析和建模工作。
通过学习和使用Mathematica等工具，不仅可以提高数学建模的能力，还能更好地理解和解决现实生活中的复杂问题。对于参加数学建模竞赛的学生来说，熟练掌握这类工具是非常重要的。
