概率语言模型是一类用于自然语言处理（NLP）任务的模型，其核心目标是捕捉词项在文档中的分布特性。通过这样的模型，可以理解词汇的语义关系，为诸如文本分类、信息检索、话题建模等应用提供支持。隐含语义分析（LSA）和概率潜在语义分析（PLSA）是这一领域的重要模型。本系列博文将详细介绍这些模型及其变种，并着重探讨参数估计的方法，特别是期望最大化（EM）算法。
LSA 是一种基于矩阵分解的技术，旨在解决一词多义和多词一义等问题。LSA 的基础在于奇异值分解（SVD），它可以从词项-文档矩阵中提取出隐含的主题或概念。LSA 在处理文本数据时会首先将文档集合表示为一个矩阵，矩阵的行表示词项，列表示文档，矩阵的元素则是词项在文档中的tf-idf权重。然后，SVD 将这个高维矩阵分解为三个低秩矩阵的乘积，分别是左奇异矩阵、对角矩阵和右奇异矩阵。对角矩阵中包含奇异值，这些值表示了对应于每个隐含维度的权重。通过仅保留最重要的奇异值来实现降维，这有助于去除噪声并捕捉更深层次的主题信息。
但是，LSA 缺乏一个严谨的概率解释和统计基础，并且矩阵分解过程计算复杂度高。因此，Hofmann 提出了 PLSA 模型，这是一种基于概率框架的语言模型。在 PLSA 中，每个文档被假设生成于一系列潜在的主题（或类别），而每个主题又对应一个特定的单词分布。PLSA 将文档生成过程建模为两层的多项式分布：文档层和主题层。文档层的多项式分布在主题上，而主题层的多项式分布在单词上。PLSA 模型的概率图模型描述了文档、主题和单词之间的生成关系。
参数估计在概率语言模型中至关重要。最直接的方法是最大似然估计（MLE），但当模型中包含隐变量时，这种方法变得复杂。EM 算法是一种迭代技术，用于含有隐变量的概率模型的参数估计。在 PLSA 中，EM 算法用于从观测数据中估计模型参数，即从文档中观察到的单词分布估计主题分布和文档分布。EM 算法通过两个步骤交替进行：首先是期望步骤（E步），用于根据当前参数估计隐变量的期望值；然后是最大化步骤（M步），用以更新模型参数，最大化观测数据的似然函数。这一过程不断迭代，直到模型参数收敛。
此外，EM 算法在处理包含隐变量的概率模型时提供了一种强有力的框架。该算法的核心思想是用隐变量的期望值代替其真实值，从而将问题简化为一个更容易解决的显式模型。EM 算法在其他许多领域也有广泛应用，其一般形式是通用的且能够处理多种不同的统计模型和机器学习问题。
在本系列的后续文章中，将介绍 LDA（潜在狄利克雷分配）模型及其参数估计方法 Gibbs Sampling。与 PLSA 相比，LDA 是一个更加完善的概率模型，它引入了 Dirichlet 先验来克服 PLSA 中的一些问题，如主题分布的过拟合和参数空间的无限增长。LDA 同样可以应用于话题建模等任务，是目前领域内研究的热点。通过对比分析，可以看出 LDA 在某种程度上是对 PLSA 的改进，它提供了更加稳健的话题识别结果，并且可以通过超参数引入更多的先验知识。
