高等数学教程第一章答案

《高等数学教程》第一章主要涉及了数学中的基本概念和理论，包括函数的性质、极限、连续性以及初等函数的一些特性。以下是对这些知识点的详细解释： 1. **函数的性质**：章节中提到了奇函数、偶函数和非奇非偶函数。奇函数满足条件 ，即对所有实数x，函数值保持不变；偶函数满足条件 ，即函数关于y轴对称；非奇非偶函数则不满足这两个条件。 2. **周期函数**：函数如果存在一个非零常数T，使得对所有x，都有 ，则称f(x)是周期为T的周期函数。例如，(1)、(2)和(3)所示的函数都是周期函数，而(4)不是。 3. **极限**：习题1-2(A)涉及到极限的概念，如(1)、(2)、(3)等，考察了函数在特定点是否有极限，以及极限的计算。 4. **无穷小与无穷大**：习题1-4探讨了无穷小量和无穷大量的概念。无穷小量是指随着变量趋于某一值时，其绝对值趋于零的量；无穷大量则是函数值随变量增大而无限制增大的情况。例如，当x趋近于某个值时，某些函数如(3)、(5)是无穷小量，而某些函数在特定条件下如(4)、(6)是无穷大量。 5. **连续性**：习题1-8详述了函数的连续性和间断点的类型。函数在某点连续意味着在该点的左极限、右极限和函数值都相等。可去间断点可以通过补充定义或改变函数解析式来消除，如(1)、(2)、(4)的部分情况。第一类间断点（跳跃间断点）如(3)和第二类间断点（无穷间断点）如(6)、(8)则不能通过简单补充定义消除。 6. **高阶无穷小与等价无穷小**：习题1-7(A)和(B)讨论了函数增长速度的比较。当两个无穷小量的比值的极限为非零常数时，它们是等价无穷小，如(2)所示。而高阶无穷小是比其他无穷小量衰减更快的无穷小，如(1)所示。 这些基础知识构成了高等数学的基础，对于理解和掌握后续章节的微积分、线性代数等高级数学概念至关重要。通过解答这些习题，学生能够深入理解并熟练运用这些基本概念。