word教案《数学分析讲义》刘玉莲——第0章 数学分析课程简介

《数学分析》是一门深入探讨数学基本概念和理论的课程，尤其强调极限理论。本教案由刘玉莲基于《数学分析（第三版，刘玉琏、傅沛仁编，高等教育出版社）》教材编撰，旨在为学生提供清晰的学习路径和教学资源。 数学分析的起源可以追溯到古希腊时期的阿基米德和中国古代数学家的作品中，但作为系统理论的形成是在17世纪。这一时期，欧洲社会经济结构发生变革，资本主义兴起，地理大发现推动了科学进步。例如，哥白尼的《天体运行论》和伽利略的望远镜观测，对天文学产生了深远影响，同时也促进了数学的发展，尤其是对运动和变化的研究。 笛卡尔坐标系统的创立和变量概念的引入，是数学分析早期的重要里程碑，它标志着数学从静态向动态的转变，也为后来微积分的诞生奠定了基础。牛顿和莱布尼兹几乎在同一时期独立发展出微积分理论，它迅速在物理学、工程学、天文学等领域得到广泛应用，改变了人们对自然界和运动的理解，推动了科技和文化的进步。 微积分初期被称为“无穷小分析”，其核心概念是极限。极限方法通过一系列越来越接近的近似值来确定一个量的真实值，揭示了稳定性背后的过程和变化。这种辩证思维在18世纪引领了数学的快速发展，催生了诸如变分学、复变函数论、场论和微分方程等分支，进一步深化了对连续性和变化的理解。 然而，随着微积分的广泛应用，人们注意到其理论基础的不严密性，即无穷小概念的模糊性，这引发了数学史上的第二次基础危机。19世纪初，数学家们，如阿贝尔、狄利克莱、柯西和维尔斯特拉斯等人，致力于解决这一问题，最终通过严格的极限定义重构了微积分的理论体系，使之成为现代数学分析的坚实基石。 总结来说，数学分析课程不仅仅是关于极限和微积分的理论，更是探索数学思想方法、培养严谨逻辑推理能力的过程。通过学习，学生将理解数学分析如何作为理解和描述自然界变化现象的强大工具，以及它在科学研究和技术发展中不可或缺的角色。刘玉莲的教案旨在帮助学生全面掌握这些概念，为他们未来在数学和相关领域的深入研究打下坚实的基础。