《数学分析教案及配套课件》的文档涵盖了数学分析中的重要概念——函数的连续性，这一主题对于理解和掌握数学分析的基础至关重要。以下是该主题的主要知识点：
### 第四章 函数的连续性
#### 1. 函数在一点的连续性
- **连续的直观图解**：函数在某点连续意味着当自变量靠近该点时，函数值也趋向于相应的函数值。
- **定义**：如果函数在某点的左极限、右极限和函数值都存在且相等，那么函数在该点是连续的。
- **单侧连续**：分为左连续和右连续，其中只要一侧的极限存在并与函数值相等，就称该点单侧连续。
#### 2. 间断点及其分类
- **间断点**：如果函数在某点不连续，则称该点为间断点。
- **第一类间断点**：包括跳跃间断点（两侧极限存在但不相等）和可去间断点（可通过扩展定义使函数在该点连续）。
- **第二类间断点**：函数在某点的极限不存在，如无穷间断点和振荡间断点。
#### 3. 区间上的连续函数
- **开区间上的连续性**：函数在整个开区间上都连续。
- **闭区间上的连续性**：不仅在每个点都连续，而且在区间的端点也要连续（端点的连续性可能需要扩展定义）。
- **按段连续**：函数在不同区间可能有不同的行为，但每个区间内部都是连续的。
### §2 连续函数的性质
#### 1. 局部性质
- **局部有界性**：在函数的某个邻域内，函数值有界。
- **局部保号性**：在某邻域内，函数值保持同号。
- **四则运算性质**：如果两个连续函数的乘积、和、差、商（分母不为零）也是连续的。
- **复合函数连续性**：如果内外函数在相应点连续，复合函数也连续。
#### 2. 闭区间上连续函数的基本性质
- **最值性**：闭区间上的连续函数有最大值和最小值。
- **介值性**（中间值定理）：如果函数在闭区间上连续，那么函数值可以在任何两个端点值之间取到。
- **零点定理**：如果连续函数在闭区间上连续且两端点值异号，那么存在至少一个零点。
#### 3. 反函数的连续性
- **反函数**：如果原函数严格单调递增（或递减）且连续，其反函数在其定义域内也连续。
### §4 一致连续性
- **一致连续性**：函数在区间上的变化不会随点的选择而剧烈变化，即使得对任意的ε，总能找到δ，使得所有点满足条件即可。
- **一致连续与连续的关系**：一致连续是连续的加强形式，所有一致连续的函数都是连续的，但反之不成立。
- **Lipschitz 连续性**：更特殊的一致连续性，函数值的变化受到限制，即存在常数L，使得所有点对的函数值之差不超过L乘以点对距离。
这些知识点构成了数学分析中关于函数连续性理论的基础，对于深入学习和理解其他高级概念，如微积分、实分析等领域都至关重要。通过案例分析和练习，学生可以更好地掌握这些概念并运用到实际问题中。
