《现代数学分析方法》
课程学习报告
二 ○ 二 三 年 十 月
《现代数学分析方法》课程学习报告
本学期学习了由闫老师和张老师主讲的 《现代数学分析方法》课程。由闫
老师主讲的第一部分已经结束。闫老师深入浅出，让我们理解了学习这门课程的
重要性。
数学是理工科科研的基础，在解决各种工程问题中需要进行数学建模，并用
数学方法进行求解。这门课为我们提供了科研分析的思路、方法及工具。
非参数假设检验法中，闫老师通过
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拟合优度检验和柯尔莫哥洛夫及斯米
尔诺夫检验三种检验方法，讨论了对总体分布的假设检验问题，提供了一种分布
假设的检验思路。这种统计方法在给定样本数据的情况下，对总体分布的形式或
参数进行推断，不依赖于总体分布的具体形式，具有普遍适用性。
通过单因素方差分析和双因素方差分析方法的学习，提供了一种在科研试验
中对结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果的影响程度方法的思路，并对
模型进行参数估计的方法。
贯穿整个课程学习，闫老师在潜移默化中为我们提供了一种数学工具：R 软
件。一种帮助解决实际问题的数学分析软件。
一、具体对学习内容进行总结：
1 非参数假设检验法
数据描述的三个角度：集中趋势，离散程度和分布形态。而常用统计推断检
验方法分为两大类：参数检验和非参数检验。非参数检验是在总体方差未知或知
道少的情况下，利用样本数据对总体分布形态等进行推断的方法。由于非参数检
验方法在推断过程中不涉及有关总体分布的参数，因而得名为“非参数”检验。
（1）其主要分析思路由：
Step1：不同分布选择不同方法。如果是正态分布，选择参数检验，如果总
体未知，选择非参数检验。
Step2:非参数检验的类型。单样本检验、独立样本或相关相配两样本总体比
较检验、多样本总体比较检验等。
（2）非参数假设检验法是一种统计方法，其特点如下：优点是不涉及总体
参数，假设前提较少，易于满足；适合顺序变量、小样本，以方便计算。缺点是
未能利用数据的全部信息，将数据转换成顺序变量时会丢失一部分信息，精度不
够，而且不能处理交互作用。
适用于以下情况：
①等级顺序资料；②偏态资料。当观察资料呈偏态或极度偏态分布而有未经
变量变换，或虽经变量变换但仍未达到正态或近似正态分布时，宜用非参数检验。
③未知分布型资料。④要比较的各组资料变异度相差较大，方差不齐，且不能变
换达到齐性。⑤有些数据由于统计工作量过大，可采用非参数统计方法进行初步
分析，挑选其中有意义的再进一步分析。⑥对于一些特殊情况，如从几个总体所
获得的数据，往往难以对其原有总体分布作出估计，在这种情况下可用非参数统
计方法。
据查阅常用的非参数检验方法有如（1）用于单个样本的如
2
拟合优度检验、
K-S 拟合检验、中位数的符号检验；（2）用于两个匹配样本的如 Wilcoxon 符号
秩检验；（3）用于两个独立样本的 Wilcoxon 秩和检验；（3）用于多个独立样
本的如 Kruskal-Wallis 检验。在这部分闫老师介绍了三种检验方法。
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拟合优度
检验和柯尔莫哥洛夫及斯米尔诺夫检验。
1）
2
拟合优度检验
（1）该检验法的基本思想是：
将总体的可能结果的全体Ω分为
m
个互不相容的事
A
1
,
A
2
,...,
A
m
(
i=1
m
A
i
=
Ω,A
i
A
j
=ϕ,i≠j,i,j=1,2,...,m)
.于是在假设
H
0
下,我们可以计算
p
i0
=P(A
i
),i=
1,2,...,k
.在 n 次试验中,事件
A
i
出现的频率与
n
i
n
与
p
i0
往往有差异,但一般来说,若
H
0
为真,且试验次数又多时,这种差异不应很大。
（2）局限性
这种检验依赖于区间划分，划分的巧合可能导致检验的错误。
2）柯尔莫哥洛夫检验及斯米尔诺夫检验
（1）柯尔莫哥洛夫检验用于检验完全已知的连续型分布函数：(为完全已知的连
续型分布函数)，检验经验分布是否服从某种理论分布。斯米尔诺夫检验法可以
检验两个样本是否服从同一分布。
2 单因素方差分析和两因素方差分析
方差分析是根据试验的结果进行分析,检验方差相等的多个正态总体均值是
