人教版初三数学：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）.doc

在人教版初三数学的学习中，一元二次方程是一个重要的知识点，主要涉及根的判别式和根与系数的关系。这两个概念对于理解和解决一元二次方程的问题至关重要。 根的判别式，记作Δ=b²-4ac，它能够帮助我们判断一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况。具体来说： 1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。 2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，即重根。 3. 当Δ<0时，方程无实数根，存在两个共轭复根。 在实际应用中，我们需要将方程化为一般形式，确定a、b、c的值，然后计算Δ，根据Δ的符号来判断方程的根。同时，要注意不能忽略二次项系数a≠0的条件。 根与系数的关系是指，如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根为x₁和x₂，那么有： 1. x₁+x₂=-b/a 2. x₁x₂=c/a 这个关系不仅可用于检验两个数是否为方程的根，还可以用来求解未知系数或者已知一个根的情况下找到另一个根。在解决相关问题时，会涉及一些代数式的变形技巧，例如求根的和、差、积、商等。 举例来说，假设我们有方程x²+2x+a²=0，如果要求a的取值范围使得方程有两个不相等的实数根，我们需要令Δ>0，即2²-4×1×a²>0，得到124a﹣＞0，解得a的取值范围是(-∞, -1)∪(1, +∞)。如果已知方程的一个根为1，我们可以利用根与系数的关系来找到另一个根和a的值，设另一个根为x₁，那么1+x₁=-2，1*x₁=a²，解得x₁=-3，a²=-3，但由于a²是实数，所以无实数解。 掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，能够有效地分析和解决与一元二次方程相关的各种问题，包括解方程、判断根的性质、求解未知系数等。在解题过程中，要特别注意判别式的应用和根与系数关系的条件，确保解题的准确性和完整性。