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数学模型在投资风险与收益中的应用.doc
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数学模型在投资风险与收益中的应用.doc
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摘 要
数学模型常用来解决经济中的问题。本文根据马科维兹均值—方差模型,用期望与
方差将抽象的风险与收益进行量化。并选取了 5 种投资商品的历史收益率、收盘价等数
据进行实证分析,根据 Matlab 程序计算协方差、方差、平均收益率等得出有效前沿,
运用矩阵求出每种证券商品对应的权重,从而实现组合最优。
关 键 词 : 投 资 组 合 理 论 ; 有 效 前 沿 ; 投 资 风 险 ; 收 益
Abstract
Mathematical models are often used to solve problems in the economy. This paper
quantifies the abstract risks and benefits with expectation and variance according to the
Markowitz mean-variance model. And selected 5 kinds of investment commodity's historical
return rate, closing price and other data to carry on the empirical analysis, according to the
Matlab program calculation covariance, variance, average return rate and other formulas to
get the effective frontier, using the matrix to find the corresponding weight of each security
commodity,to achieve the optimal combination.
Keywords:portfolio theory;effective boundaries;investment risk;return
目 录
1 引 言 .............................................................1
1.1 研究背景.............................................................1
1.2 研究现状.............................................................1
1.2.1 国外研究现状.......................................................1
1.2.2 国内研究现状.......................................................2
2 相关概念 .............................................................3
2.1 数学建模.............................................................3
2.2 投资收益与风险的关系.................................................3
2.3 马科维茨投资组合理论.................................................4
2.4 无差异曲线(不同投资者的风险偏好).....................................4
2.5 资产有效前沿.........................................................5
2.6 二次规划问题.........................................................5
3 模型的建立及求解 .....................................................6
3.1 符号说明.............................................................6
3.2 模型假设.............................................................6
3.3 投资组合的预期收益率.................................................7
3.4 投资组合的风险.......................................................7
3.4.1 方差...............................................................7
3.4.2 协方差.............................................................8
3.5 无差异曲线的确定.....................................................9
4 实证分析 ...........................................................10
4.1 实例应用 1 .........................................................10
4.2 实例应用 2 .........................................................13
5 模型评价 ...........................................................16
6 结论 ...............................................................17
参 考 文 献 ........................................................18
致 谢 ..............................................................18
-1-
1 引 言
1.1 研究背景
在科技发展迅速的 21 世纪,互联网大数据已经成为当今时代的潮流。在这一时代
背景下,数学建模在经济、医学、生产等领域得到广泛的应用;在生物、科学和管理中
也发挥着至关重要的作用,因此数学建模越来越受人们的重视。与此同时,近几年来我
国经济发展迅速,人均收入水平不断上升,人们积累的财富也越来越多。因此很多闲置
资金拥有者开始跻身金融投资市场,以实现资产增值的目的。可是目前我国投资市场还
未成熟,金融投资行情也不容乐观。再加上投资者的暴富心理,盲目从众心理导致很多
投资者无法实现资金增值,所以为帮助投资者减少投资风险,选择合适科学理性的投资
组合方案这一问题变得至关重要。
再者,大学数学成为当代大学生的一门必修课。它要求学生在学好知识与技能的同
时,要注重理论与实际的结合。而数学建模能很好的将数学知识运用于现实中的实际问
题。就拿近几年来的全国大学生数学建模竞赛题来说,每一个建模题目都与现实中的生
活息息相关。如公交车调度问题、CT 成像及旋转中心的确定、高压油管的压力控制等
等都要求参赛者把抽象的实际问题通过一定的简化建立相应的数学模型。这些都体现出
数学的重要性,数学模型的重要性。而本文讨论的投资收益与风险模型的建立正是将数
学理论知识应用于经济,是理论与实际结合的一种体现。
1.2 研究现状
1.2.1 国外研究现状
经济影响着数学模型与投资理财的起源和发展,因此将数学模型应用于投资风险与
-2-
收益这一领域的研究在国外进行的早。数学模型运用于经济市场最早是在 17 世纪,由
配第和葛兰特倡导,他们利用算数方法和一些简单的概念对经济问题加以分析。随着时
间的推移,经济数学越来越受到人们的推崇,分析经济问题的数学工具也变得更加的复
杂,有高等的数学方法,数学建模、规划问题、集合论等。
1952 年,马科维兹(HarryM.Markowitz)率先提出现代资产组合理论也就是均值
——方差模型。该理论主要是为了减少投资者的风险,将投资者的资产在各种投资商
品间进行合理配置。在均值——方差模型中马科维茨首次将数学中的二次规划问题引
入经济学中,在考虑方差和期望收益这两个因素下,求得对投资者而言最有利的投资组
合
[1]
。
1968 年,拥有浓重主观色彩的西方经济学理论已经无法满足当时复杂的经济问题、
经济现象。加上诺贝尔经济学奖的设立,引得经济学者们开始大量的应用数学思维,数
学建模分析方法。
随着时间的推移,1996 年 Kim 和 Omberg 在马科维茨投资理论的基础上,研究了
一个连续时间市场中,终端财富效用最大化的投资组合选择问题,他们使用一种随机控
制方法来解决这个选择问题,结果发现最优的组合权重是线性的
[2]
。
如今的经济学中数学模型得到广泛应用,比如《西方经济学》中利用求导和极限的
思想解释有效前沿;供求曲线也是简单的数学模型;博弈论、蛛网模型等都与数学建模
息息相关。
1.2.2 国内研究现状
由于之前我国经济发展落后,因此我国的个人理财业务发展较晚。但近几年来,我
国经济发展迅速,研究经济领域的国内学者也逐渐增多。但在投资风险与收益的研究中
大多数国内学者都是在西方学者的基础下进行的。
1995 年,凌晓东、刘萍在《数量经济技术经济研究》中发表“资产组合优化的数
学模型及数值实现”一文,他们以盈利性金融机构为主体,认为金融资产具有双层属性,
把实际收益率看成是一个随机变量,用均值和方差衡量收益水平与风险水平
[3]
。
2003 年,赖民、赵世舜、宋立新在吉林大学学报中发表“关于投资风险-收益模型
等价性的证明”一文,他们假设市场上有
n
种投资商品,然后分别建立了允许卖空和不
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