从给定的信息来看，本文档提供了1995年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一的部分试题及其详细解答。下面将对题目中的知识点进行详细解释。
### 一、填空题
#### (1) 极限计算
题目要求计算极限 \(\lim\limits_{x \to 0} (1 + \frac{\sin x}{3x})^6\)。
**详解1**：此题利用了第二类重要极限公式 \(\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e\) 的变形来解决。通过观察可知，原式可以写作 \(\left[\lim\limits_{x \to 0} (1 + \frac{\sin x}{3x})\right]^6\)，而 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)，因此 \(\lim\limits_{x \to 0} (1 + \frac{\sin x}{3x}) = \lim\limits_{x \to 0} (1 + \frac{1}{3}\cdot\frac{\sin x}{x}) = e^{\frac{1}{3}}\)。故原极限等于 \(e^{\frac{1}{3}\times 6} = e^2 = e^2\)。
**详解2**：另一种方法是通过求自然对数来转换问题。首先设 \(y = (1 + \frac{\sin x}{3x})^6\)，那么 \(\ln y = 6\ln(1 + \frac{\sin x}{3x})\)。再利用洛必达法则或泰勒展开等方法求解 \(\lim\limits_{x \to 0} \ln y\)。最终得到 \(\lim\limits_{x \to 0} \ln y = 6\lim\limits_{x \to 0} \ln(1 + \frac{\sin x}{3x}) = 6\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x} = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2\)。所以 \(\ln y = 2\)，从而 \(y = e^2\)。
#### (2) 定积分计算
题目要求计算 \(\int_0^x 2\cos t \, dt\)。
**详解**：这是一个简单的定积分问题。直接使用基本的积分规则计算即可得到 \(\int_0^x 2\cos t \, dt = [2\sin t]_0^x = 2\sin x - 2\sin 0 = 2\sin x\)。
#### (3) 向量运算
题目要求计算 \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\) 的值，已知 \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}\)。
**详解**：本题考查的是向量积和点积的基本性质。利用向量积的交换律和分配律，以及点积的性质，可以推导出结果为 4。具体地，首先利用已知条件 \(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}\)，代入待求表达式，通过一系列的向量运算规则，可以证明最后的结果为 4。
#### (4) 幂级数收敛半径
题目给出幂级数 \(\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(n-1)!}{2^n n!}(x-3)^n\)，要求其收敛半径 R。
**详解**：这里应用了比值判别法来确定幂级数的收敛半径。对于给定的幂级数，我们可以通过计算 \(\lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(n-1)!/2^{n+1}(n+1)!}{(n-1)!/2^n n!} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n!}{2(n+1)n!} = \frac{1}{2}\)，从而得知收敛半径 R 为 2。
#### (5) 矩阵方程
题目给出了矩阵方程 \(A^{-1}BA = 6A + BA\) 和矩阵 A 的形式，要求解矩阵 B 的形式。
**详解**：首先对给定的方程 \(A^{-1}BA = 6A + BA\) 进行变换得到 \(A^{-1}B = 6I + B\)，然后代入矩阵 A 的具体形式，并通过矩阵运算求解得到矩阵 B 的形式为 \(\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)。
### 二、选择题
#### (1) 直线和平面的关系
题目描述了一条直线 L 和一个平面 π，要求判断直线 L 和平面 π 的关系。
**详解**：此题考查空间几何中直线和平面的位置关系。通过计算直线的方向向量 s 和平面 π 的法向量 n，发现两者平行，因此直线 L 垂直于平面 π。
#### (2) 函数的单调性和大小比较
题目给出了函数 \(f(x)\) 在区间 [0,1] 上的二阶导数为正的条件，要求比较 \(f(1)-f(0)\)、\(f'(0)\) 和 \(f'(1)\) 的大小。
**详解**：根据题意，\(f''(x)>0\) 表明函数 \(f(x)\) 在 [0,1] 上是凹函数。利用拉格朗日中值定理和凹函数的性质可以得出 \(f(1)-f(0) > f'(0) > f'(1)\)。
#### (3) 导数与不等式
题目给出了函数 \(f(x)\) 可导，要求利用 \(f(a+b) = f(a) + f(b) + f'(a)f(b)\) 来推断 \(f(x)\) 的可能形式。
**详解**：此题的关键在于利用给定条件 \(f(a+b) = f(a) + f(b) + f'(a)f(b)\) 推断 \(f(x)\) 的形式。通过对 \(a\) 和 \(b\) 的特殊取值进行分析，比如令 \(a=b=0\) 或者 \(a=x, b=0\)，可以逐步推导出 \(f(x)\) 的可能形式，例如 \(f(x) = x^2\) 或其他符合给定条件的形式。
