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线性代数—相似矩阵PPT学习教案.pptx
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会计学
1
2
一、相似矩阵的概念和性质
定义
对于
n
阶方阵
A
和
B
,若存在
n
阶
可逆
方阵
P
,使得
则称
A
与
B
相似
,
记为
矩阵的“相似”关系具有以下特性:
(1)
反身性:
(2)
对称性:
证
(3)
传递性:
证
第
1
页
/
共
26
页
1
,
P
AP
B
.
~
B
A
对
任
何
方
阵
A
,
总
有
A
A
~
(
令
E
P
即
可
)
;
若
B
A
~
,则
有
A
B
~
;
B
A
P
P
1
.
)
(
1
1
1
B
P
P
1
P
B
P
A
若
B
A
~
,
且
C
B
~
,
则
有
C
A
~
.
C
B
Q
Q
B
A
P
P
1
1
,
.
)
(
)
(
1
C
P
Q
A
P
Q
Q
A
P
P
Q
)
(
1
1
3
相似矩阵的性质:
定理
相似矩阵有相同的特征多项式
,
从而特征值相同
.
证
推论
1
相似矩阵的行列式相等;
推论
2
相似矩阵的迹相等;
推论
3
若矩阵
A
与一个对角
阵
相似
,
第
2
页
/
共
26
页
B
A
P
P
1
A
P
P
E
B
E
1
P
A
E
P
)
(
1
P
A
E
P
1
.
A
E
n
2
1
则
n
,
,
2
1
即
为
A
的
全
部
特征
值。
4
注
意
:
特征值相同的矩阵不一定相似
.
但它们不相似
,
因为对任意可逆阵
P
,
即与
E
相似的矩阵只有它自己。
相似矩阵的其
它性质:
相似矩阵的秩相等;
若
P
,
Q
为可逆矩阵
,
则有
第
3
页
/
共
26
页
例
如
,
1
0
1
1
A
与
1
0
0
1
E
的特
征
值相同
,
,
1
E
E
P
P
,
1
B
A
P
P
.
)
(
)
(
)
(
A
r
A
Q
r
P
A
r
5
A
,
B
同为可逆或不可逆
,
可逆时它们的逆矩阵
及伴随矩阵也分别相似。
只证
(3)
,其余证明留作练习
.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
第
4
页
/
共
26
页
若
B
A
~
,
则
k
B
k
A
~
,
其中
k
为
任
意
常
数
;
T
T
B
A
~
;
m
m
B
A
~
,
其中
m
为
任
意
正整数
;
)
(
~
)
(
B
p
A
p
,
其中
)
(
x
p
为
任
一
多
项
式
;
它们
的
特
征
矩
阵
A
E
和
B
E
也相似;
,
1
B
A
P
P
m
m
A
P
P
B
)
(
1
)
(
)
)
(
(
1
1
1
A
P
P
A
P
P
A
P
P
.
1
P
A
P
m
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