根据给定的信息，我们可以从这份东北大学2005年的自动控制考研真题中提炼出以下相关知识点：
### 一、基本概念与公式
#### 1. 控制系统的表示方法
- **传递函数**：传递函数是控制系统分析的重要工具之一，用于描述系统输入输出之间的关系。例如题目中的表达式：
\[
G(s) = \frac{X_c(s)}{X_r(s)} = \frac{1}{s + a}
\]
其中 \( X_c(s) \) 表示输出信号的拉普拉斯变换形式，\( X_r(s) \) 表示输入信号的拉普拉斯变换形式，\( s \) 是复变量。
- **频率响应**：频率响应是系统在正弦输入下的稳态响应，可以通过将传递函数中的 \( s \) 替换为 \( j\omega \) 来获得，其中 \( \omega \) 是角频率。
#### 2. 系统稳定性
- **稳定性的定义**：一个控制系统被认为是稳定的，如果对于所有有限的初始条件和输入信号，其输出都保持有界的特性。
- **劳斯判据**：通过计算劳斯表来判断系统的稳定性。若劳斯表中第一列出现负数，则系统不稳定；若全部为正，则需进一步检查。
- **奈奎斯特判据**：利用频率响应曲线来判断系统的稳定性。曲线不穿过(-1,j0)点且围绕该点的方向为顺时针，则系统稳定。
### 二、控制系统的分析与设计
#### 1. 时间响应分析
- **阶跃响应**：输入为单位阶跃信号时系统的响应，常用来评价控制系统的动态性能。
- **脉冲响应**：输入为单位脉冲信号时系统的响应，可以用来求解其他类型的输入信号对应的输出响应。
- **稳态误差**：系统达到稳态后输出与期望值之间的差异。
#### 2. 频率响应分析
- **幅频特性**：描述系统对不同频率输入信号的幅度变化。
- **相频特性**：描述系统对不同频率输入信号的相位变化。
- **伯德图**：将系统的幅频特性和相频特性绘制成图形，方便直观地分析系统性能。
#### 3. 控制器设计
- **比例控制器(P)**：仅使用输入信号的当前值来调整控制量。
- **积分控制器(I)**：累积输入信号的偏差来调整控制量，有助于消除稳态误差。
- **微分控制器(D)**：基于输入信号的变化率来调整控制量，有助于提高系统的响应速度和减少超调。
### 三、高级控制技术
#### 1. 根轨迹法
- **根轨迹的概念**：随着系统参数的变化，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在复平面上移动的轨迹。
- **绘制规则**：包括起点终点、渐近线、分离点等规则，用于辅助绘制根轨迹图。
- **根轨迹的应用**：通过对根轨迹的分析，可以预测系统性能的变化趋势，并据此进行参数调整或控制器设计。
#### 2. 状态空间分析
- **状态方程**：用一组微分方程或差分方程来描述系统的内部状态变化。
- **输出方程**：描述系统内部状态与外部输出之间的关系。
- **可控性与可观测性**：可控性指的是能否通过外部输入使系统达到任意状态的能力，可观测性则是指能否通过输出测量推断出系统内部状态的能力。
### 四、特殊问题解析
#### 1. 非线性系统分析
- **描述函数法**：将非线性环节用一个近似的线性模型来表示，从而简化分析过程。
- **相平面法**：通过绘制相平面图来研究系统的稳定性和动态行为。
#### 2. 最优控制理论
- **卡尔曼滤波器**：用于估计系统状态的最佳滤波器，在存在噪声干扰的情况下能够提供精确的状态估计。
- **线性二次型调节器(LQR)**：通过最小化一个关于系统状态和控制输入的二次型性能指标来确定最优控制器的设计方法。
东北大学2005年自动控制考研真题涵盖了控制系统的基本概念、时间与频率响应分析、控制器设计等多个方面，要求考生不仅掌握基础知识，还需具备一定的分析和解决问题的能力。
