第 4 章 线性方程组的数值解
法
4.1 引言
在工程技术和科学研究中,很多科学计算的问题往往
直接或间接地归结为求解线性代数方程组。常见的线性代
数方程组是方程个数和未知量个数相同的阶线性方程组,
它的一般形式是
其中, 、 为常数, 为待求的未知量
11212111
bxaxaxa
nn
22222121
bxaxaxa
nn
nnnnnn
bxaxaxa
2211
ji
a
i
b
i
x
)321( n,,,,ji,
(4.1)
用矩阵形式表示是
其中:
一般 。当系数矩阵 非奇异(行列式不为零),即
时,方程组 (4.1) 有惟一解。
bAx
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
n
x
x
x
x
2
1
n
b
b
b
b
2
1
0b
A
0det A
对于线性代数方程组的解法大致可分为两类,即直
接解法和迭代解法。直接解法是指在假设没有舍入误差的
条件下,经过有限次算数运算就能求得方程组精确解的方
法。
然而实际计算中由于舍入误差的影响,这类方法也
只能求得近似解;迭代解法就是从一个已知的初始近似值
开始,按一定的法则逐步求出解的各个更准确的近似值的
方法,它是用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法。
在本章中主要介绍高斯消去法、列主元高斯消去法、
约当消去法、三角分解法等直接解法以及雅可比、高斯—
赛德尔和超松弛等迭代解法。
4.2 高斯( Gauss )消去法
4.2.1 高斯消去法的基本思想
高斯消去法是最古老的求解线性代数
方程组的方法之一,高斯消去法是消去
法的一种特殊形式,它包括消元与回代
两个过程。
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