"多元函数极值及其求法剖析"
多元函数极值是数学中一个重要的概念，它在函数优化、经济学、物理学等领域中有广泛的应用。多元函数极值可以分为极大值和极小值两种。
一元函数极值的概念：
设函数f(x)在点x₀处具有极值，当且仅当函数f(x)在点x₀的某个邻域内所有点的函数值均不大于（或不小于）f(x₀)时。
二元函数极值的概念：
设函数f(x, y)在点(x₀, y₀)处具有极值，当且仅当函数f(x, y)在点(x₀, y₀)的某个邻域内所有点的函数值均不大于（或不小于）f(x₀, y₀)时。
二元函数极值的求法：
1. 必要条件：设函数f(x, y)在点(x₀, y₀)处具有极值，那么函数f(x, y)在点(x₀, y₀)处的一阶偏导数必然为零。
2.充分条件：设函数f(x, y)在点(x₀, y₀)处连续，有一阶及二阶连续偏导数，那么函数f(x, y)在点(x₀, y₀)处具有极值当且仅当函数f(x, y)在点(x₀, y₀)处的一阶偏导数为零且二阶偏导数矩阵的DET值大于零。
二元函数的驻点和极值点：
1. 驻点：设函数f(x, y)在点(x₀, y₀)处具有偏导数，那么点(x₀, y₀)称为函数f(x, y)的驻点。
2. 极值点：设函数f(x, y)在点(x₀, y₀)处具有极值，那么点(x₀, y₀)称为函数f(x, y)的极值点。
如何判定一个驻点是否为极值点：
1. 求驻点，即求函数f(x, y)的一阶偏导数为零的点。
2. 然后，对每个驻点，计算二阶偏导数矩阵的DET值，如果DET值大于零，那么该驻点为极小值点，如果DET值小于零，那么该驻点为极大值点，如果DET值等于零，那么该驻点可能为极值点，也可能不是极值点。
例子：
1. 设函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点(0, 0)处具有极小值。
2. 设函数f(x, y) = x^2 - y^2，在点(0, 0)处具有极大值。
3. 设函数f(x, y) = xy，在点(0, 0)处没有极值。
在商业中，多元函数极值的应用非常广泛。例如，某商店卖两种品牌的果汁，本地品牌每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地品牌的每瓶卖x元，外地品牌的每瓶卖y元，则每天可卖出本地品牌的果汁x瓶，外地品牌的果汁y瓶。问题是店主每天以什么价格卖两种品牌的果汁可取得最大收益？每天的收益为f(x, y) = 2x + 1.2y。要解决这个问题，我们需要求函数f(x, y)的极大值。
