多元函数的极值及其求法剖析.ppt
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"多元函数的极值及其求法剖析" 多元函数的极值是指函数在某个点上的最小值或最大值。对于二元函数,极值可以是极大值或极小值。本节我们讨论多元函数的极值及其求法。 一、二元函数的极值定义 设函数f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y),若满足不等式f(x,y) < f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极小值;若满足不等式f(x,y) > f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极大值。使函数取得极值的点称为极值点。 二、条件极值 条件极值是指在某些约束条件下,函数取得极值的点。例如,某商店卖两种品子的果汁,本地品牌每瓶进价1元,外地品牌每瓶进价1.2元,店主估计,如果本地品牌的每瓶卖x元,外地品牌的每瓶卖y元,则每天可卖出本地品牌的果汁4570+yx-4570-yx瓶,外地品牌的果汁7680-2.1yx+7680+2.1yx瓶。问题的提出:店主每天以什么价格卖两种品牌的果汁可取得最大收益?每天的收益为7680yx+4570yx-yx。问题的分析:本节我们讨论与多元函数的最值有关的最简单的优化问题。 三、拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是指在约束条件下,函数取得极值的方法。例如,某函数f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y),若满足不等式f(x,y) < f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极小值;若满足不等式f(x,y) > f(x0,y0),则称函数在(x0,y0)有极大值。 四、极值点的判定 极值点的判定是指判断某个点是否为函数的极值点。例如,点(0,0)是函数xyz = x^2 + y^2的驻点,但不是极值点。仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点。 五、充分条件 充分条件是指函数在某个点上的极值的充分条件。例如,设函数f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,注意:又0 = ∂f/∂x,0 = ∂f/∂y,令A = ∂²f/∂x²,B = ∂²f/∂x∂y,C = ∂²f/∂y²,则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下: (1)0 < -B² + AC时具有极值, 当0 < A时有极大值, 当0 > A时有极小值; (2)0 > -B² + AC时没有极值; (3)0 = -B² + AC时函数在点(x0,y0)处取得极值,但不知道是极大值还是极小值。 多元函数的极值及其求法是多元函数论的重要内容,通过极值的定义、条件极值、拉格朗日乘数法和极值点的判定等方法,我们可以解决实际问题中的优化问题。
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