第八章 多元函数微分学课件.ppt

多元函数微分学是数学分析中的重要分支，主要研究多变量函数的微分性质和应用。在重庆大学数理学院吴新生老师的课件中，这一章涵盖了多元函数的基础概念、偏导数、全微分、复合函数求导法则、隐函数的求导、微分在几何上的应用以及多元函数的极值求法。 我们从基本概念开始。在二维空间中，一个区域是由其内部点组成的集合，如果区域内任意点的邻域都完全位于区域内，那么这个区域被称为开区域。反之，如果一个点的邻域内既有属于区域的点也有不属于的，那么这个点是边界点。连通的开区域被称为区域或开区域，而包含边界在内的整体称为闭区域。在n维空间中，这些概念同样适用，只不过点由n个坐标来表示，距离公式也相应地扩展到了n维。 接着，多元函数被定义为在n维空间中，对于每一个点，都有一个确定的数值与之对应。函数的定义域是所有输入值（自变量）构成的集合，值域则是所有可能输出值（因变量）的集合。当n=1时，函数是一元函数；当n>1时，称为多元函数。 多元函数的极限定义了当自变量趋向某一特定值时，函数值趋向的极限值。在点P趋近于点Q的过程中，如果对于任意给定的正数ε，都能找到对应的正数δ，使得当点P与点Q的距离小于δ时，函数f(x, y)的值与极限A的差的绝对值小于ε，那么就称A为函数在点Q处的极限。 在这一章中，还讨论了偏导数，它是多元函数对其中一个自变量的导数，忽略其他自变量的影响。全微分则描述了函数在微小变化下的线性近似。复合函数的求导法则和隐函数的求导公式是解决实际问题中的常用工具，它们提供了计算复杂函数导数的方法。微分法在几何上的应用主要体现在切线和法线的求解，以及曲面的微小变化。多元函数的极值求法是优化问题的基础，通过计算偏导数和构建拉格朗日乘子，可以找到函数在约束条件下的最大值和最小值。 这个课件深入讲解了多元函数微分学的核心概念和方法，为理解和应用多变量函数的微分理论奠定了基础。