第六章定积分习题期末 .ppt

定积分知识点总结 本资源摘要信息涵盖了定积分的基本概念、性质、计算方法和反常积分等方面的知识点，旨在为学习者提供一个系统的定积分知识框架。 一、定积分的概念与性质 * 定积分的定义：定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限 * 定积分的几何意义：曲边梯形的面积 * 定积分的性质： + 反号性：∫[a,b] f(x) dx = -∫[b,a] f(x) dx + 与积分变量无关性：∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,b] f(t) dt + 线性性质：k₁∫[a,b] f(x) dx + k₂∫[a,b] g(x) dx = ∫[a,b] (k₁f(x) + k₂g(x)) dx + 区间可加性：∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx + 区间长：∫[a,b] dx = b - a + 保号性：如果 f(x) ≥ 0 在 [a,b] 上，则 ∫[a,b] f(x) dx ≥ 0 + 单调性：如果 f(x) ≤ g(x) 在 [a,b] 上，则 ∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx + 估值定理：如果 M 和 m 分别是函数 f(x) 在 [a,b] 上的最大值和最小值，则 m(b-a) ≤ ∫[a,b] f(x) dx ≤ M(b-a) + 奇偶对称性：如果 f(x) 是奇函数，则 ∫[-a,a] f(x) dx = 0 二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式 * 积分上限函数：F(x) = ∫[a,x] f(t) dt * 牛顿—莱布尼兹公式：如果 F(x) 是函数 f(x) 的原函数，则 F(b) - F(a) = ∫[a,b] f(x) dx 三、定积分的计算方法 * 求定积分的总体原则：先求被积函数的原函数，然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算 * 换元积分法： + 凑微分法：∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,b] f(φ(t))φ'(t) dt + 变量置换法：∫[a,b] f(x) dx = ∫[α,β] f(φ(t))φ'(t) dt * 分部积分法：∫[a,b] udv = uv|_[a,b] - ∫[a,b] vdu 四、反常积分 * 无穷限的反常积分：lim (a→+∞) ∫[a,+∞) f(x) dx * 无界函数的反常积分：lim (a→c) ∫[a,b] f(x) dx，其中 c 是函数 f(x) 的瑕点