复杂曲面的离散方法
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2011-12-29
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复杂曲面的离散方法
摘要：本文综述了曲面离散的三角剖分方法，基于几何和参数驱动方式对曲面离散
方法进行了分类，并分别介绍了一种当前较为先进的基于几何的自适应分割法和一
种改进的三角网格自适应映射算法。计算实例表明， 本文提及的离散方法具有产
生三角形数量少、网格形态好、速度快以及通用性强等优点。
1 引言
曲面离散就是要找到一组平面片， 使其与给定的曲面片之间最大距离不超过
规定的误差。曲面离散在求交、真实感显示、有限元网格生成及数控加工等方面都
有重要的应用。曲面离散方法有很多，可以采用几种不同的方式进行分类。(1)均
匀的和自适应的: 均匀离散在每个参数方向采用恒定步长；自适应离散进行曲面的
迭代分割，直到满足某些“平坦度”或“曲面面积”等准则。(2)基于几何的和参数驱动:
映射法是在参数域上利用平面网格生成技术进行剖分，然后将参数域上的网格结
点映射到实空间，并保持参数域上网格结点的连接关系，从而得到曲面的三角剖分。
但此方法与原曲面片的逼近程度较差，无法保证所生成的网格在空间中的形态。自
动网格生成法一般是采用基于四边形的细分方法。在原曲面上根据曲面弯曲度递归
地将原曲面细分成小曲面片，直到曲面片满足精度要求为止。然后再将四边形网格
直接转化成三角形网格。该法能控制网格密度，其空间形态较好，但如果相邻的网
格大小差距太大，使得曲面网格间可能会出现裂缝。(3)全局法、局部法和分割法:
分割法在参数空间逐步把曲面分割为更小的面片； 全局法在参数空间确定一个满
足最坏情况的均匀增量； 而局部法利用局部的距离和曲率条件每次确定一个分割
点的位置。
本文以基于几何的和参数驱动对曲面离散方法进行分类，分别介绍一种当前较
为先进的几何自适应分割法和一种三角网格自适应细分映射算法。
2 改进的映射算法
本文提出的算法对传统的映射法进行了改进，采用基于三角形的自适应细分方
法，通过将内外环边统一处理，既简化了数据结构，又能处理带有孔洞的剪裁曲面
剖分问题， 使得映射法能处理较为复杂的三维曲面。细分算法通过三角形顶点对
间的法矢量夹角来估算对应的曲面片的曲率，减少了计算量，从而提高了算法效率，
并使三角形网格密度随曲率均匀变化。最后，通过合并、删除冗余三角形进行网格
优化，保证了网格的质量。
2.1 参数域的三角剖分
定义1 平面三角剖分：对于平面上给定的一个多边形连通区域及区域内的点
集， 通过连接两点增加边，用不重叠的三角形划分原区域，并且满足下列条件:
(1)三角形顶点是连通域里的点。
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