南航2011考研初试试题代码878科目数字电路和信号与系统

### 南航2011考研初试试题代码878科目数字电路和信号与系统知识点解析 #### 信号与系统部分知识点解析 ##### 一、填空题知识点解析 **1. 冲激函数与阶跃函数积分** - **单位冲激函数积分**：单位冲激函数 \(\delta(t-\tau)\) 在 \(t = \tau\) 处有一个无限大的峰值，并且在 \(-\infty\) 到 \(\infty\) 的积分等于1。因此，\(\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau - 1) d\tau\) 表示的是 \(\delta\) 函数在 \(\tau = 1\) 时的值，即结果为 \(f(t) = \frac{1}{2}\)。 - **单位阶跃函数积分**：单位阶跃函数 \(\epsilon(t)\) 在 \(t < 0\) 时为0，在 \(t > 0\) 时为1。因此，\(\int_{-\infty}^{\infty} (2 - 4\epsilon(t)) (6 - 2\epsilon(t)) dt\) 可以通过分析两个阶跃函数的作用来计算。最终结果为 \(-4\)。 **2. 系统性质** - **线性与非线性**：若系统满足叠加原理，则认为是线性的。给出的系统 \(r(t) = e(t) + \int_{-\infty}^{t} e(\tau) d\tau\) 显示了输入与输出之间存在线性关系，因此该系统是线性的。 - **时变与时不变**：如果系统的参数不随时间变化，则认为是时不变的。在这个例子中，积分的上下限不随时间变化，故系统是时不变的。 - **因果性**：如果系统的响应仅取决于当前及之前的输入，则认为是因果的。给出的系统满足这个条件，所以它是因果的。 - **稳定性**：如果对于任何有界的输入，系统产生的输出也是有界的，则系统是稳定的。对于给出的系统，由于积分的范围是有限的，因此可以认为系统是稳定的。 **3. 系统响应** - **自然响应与受迫响应**：自然响应是系统在没有外部输入时的响应，通常由系统的初始状态引起；受迫响应是由外部输入引起的响应。对于给定的系统，其自然响应为 \(\cos(2t)e^{-3t}\pi\)；受迫响应为 \(2e^{-t} - \cos(2t)e^{-t} - \sin(2t)e^{-t}\)。 - **瞬态响应与稳态响应**：瞬态响应是指系统从一个状态到另一个状态的过渡过程中的响应；稳态响应是系统达到稳定状态后的响应。自然频率是系统振荡的固有频率，对于给定的系统，自然频率为 \(\omega_n = 2\pi\)。 **4. 信号通过滤波器** - **滤波器特性**：理想低通滤波器的幅频特性应该允许特定频率以下的信号通过而阻断高于该频率的信号，即 \(|H(j\omega)| = 1\) 对于所有 \(\omega < \omega_0\) 和 \(|H(j\omega)| = 0\) 对于所有 \(\omega > \omega_0\)；相频特性描述了信号的相位变化，对于理想低通滤波器，如果信号产生一个 \(\Delta t\) 的延迟，则相频特性为 \(\varphi(\omega) = -\omega\Delta t\)。 **5. 离散时间系统的单位阶跃响应** - **因果性和稳定性**：如果系统是因果的，那么它的单位阶跃响应 \(r[k]\) 必须满足 \(r[k] = 0\) 对于所有的 \(k < 0\)；如果系统是稳定的，则 \(r[k]\) 必须绝对可和。 - **收敛域**：如果系统是因果的，则 \(R(z)\) 的收敛域为 \(|z| > r\)，其中 \(r\) 是 \(R(z)\) 的最远极点的模；如果系统因果且稳定，则 \(R(z)\) 的收敛域应为 \(0 < |z| < \infty\)。 **6. 差分方程与系统函数** - **差分方程与系统函数**：给定的转移算子 \(H(S) = \frac{3}{2 - 1.7S - 0.8S^2 + 0.1S^3}\) 对应的差分方程为 \(y[k] + 1.7y[k-1] + 0.8y[k-2] - 0.1y[k-3] = 3x[k]\)；系统函数为 \(H(z) = \frac{3}{2 - 1.7z^{-1} - 0.8z^{-2} + 0.1z^{-3}}\)；为了判断系统的稳定性，需要分析 \(H(z)\) 的极点位置，如果所有极点都在单位圆内，则系统是稳定的。 ##### 二、系统结构与分析 - **信号流图**：根据题目描述构建信号流图，确定系统的传递函数和单位脉冲响应。 - **系统函数与单位脉冲响应**：利用信号流图分析得到系统函数 \(H(z)\)，并通过 \(H(z)\) 计算单位脉冲响应 \(h[k]\)。 - **零状态响应**：根据系统的输入信号和系统函数，求解系统的零状态响应。 ##### 三、电路分析 - **系统函数与单位冲激响应**：根据电路结构建立微分方程，并求解系统函数 \(H(s)\) 和单位冲激响应 \(h(t)\)。 - **S域等效电路**：将电路转换到S域，分析S域等效电路。 - **零输入响应**：利用系统函数求解零输入响应。 ##### 四、周期信号分析 - **公共周期与基波频率**：计算周期信号的公共周期 \(T\) 和基波频率 \(\Omega\)。 - **傅里叶级数系数**：求解三角傅里叶级数的系数 \(a_n\) 和 \(b_n\) 以及指数傅里叶级数的系数 \(A_n\)。 - **取样与谱分析**：计算奈奎斯特取样周期 \(T_N\)；绘制信号的幅度谱和相位谱；分析不同取样周期下的信号幅度谱。 #### 数字电路部分知识点解析 **1. 最大项与最小项表达式** - **最大项表达式**：给定的函数 \(F_1\) 和 \(F_2\) 的最小项表达式分别为 \(F_1(A,B,C,D) = \sum m(0,1,3,5,8,10,11,13,14)\) 和 \(F_2(A,B,C,D) = \sum m(0~4,9,12~15)\)。为了求 \(F_1 + F_2\) 的最大项表达式，需要找到两个函数都不为1的情况，即两个函数的补函数的交集，即 \(F_1' \cap F_2'\) 的最小项表达式。\(F_1'\) 的最小项表达式为 \(F_1'(A,B,C,D) = \sum m(2,4,6,7,9,12,13,15)\)，\(F_2'\) 的最小项表达式为 \(F_2'(A,B,C,D) = \sum m(5,6,7,8,10,11,14)\)。两者的交集为 \(F_1' \cap F_2' = \sum m(6,7,8,10,11,14)\)。因此，\(F_1 + F_2\) 的最大项表达式为 \(\prod M(6,7,8,10,11,14)\)。 - **最小项表达式**：\(F_1 \oplus F_2\) 的最小项表达式可以通过 \(F_1\) 和 \(F_2\) 的异或运算得到，即 \(F_1 \oplus F_2 = F_1 + F_2 - 2(F_1 \cap F_2)\)。其中 \(F_1 \cap F_2\) 表示两个函数共同为1的情况。通过计算得到 \(F_1 \oplus F_2\) 的最小项表达式为 \(F_1 \oplus F_2 = \sum m(0,1,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15)\)。 - **添加变量A**：在 \(F_1 \oplus F_2\) 的基础上添加变量 \(A\)，可以进一步扩展表达式的维度。例如，如果在表达式中增加 \(A\)，则每个最小项前面加上 \(A\) 或者 \(A'\) 形成新的最小项，以覆盖所有可能的情况。例如，最小项 \(m_0\) 可以扩展为 \(A'B'C'D'\) 和 \(AB'C'D'\)。这种方法可以帮助我们构造更复杂的逻辑表达式。 以上解析涵盖了题目中提到的主要知识点，通过对这些知识点的理解和掌握，可以更好地应对类似的考研题目。