### 数值计算方法习题答案第五章解析
#### 习题五
本章节主要讨论了数值计算中的**最小二乘法**，这是一种用于拟合数据点到特定函数的方法，特别适用于处理线性或非线性关系的数据。最小二乘法的目标是找到一组参数，使得这些参数对应的函数与观测数据之间的残差平方和最小。
### 1. 最小二乘拟合直线
题目要求我们使用最小二乘法来拟合给定的数据，并给出具体的计算过程。最小二乘拟合直线的一般形式为 \(y = ax + b\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 分别表示斜率和截距。最小二乘法通过以下公式来计算 \(a\) 和 \(b\) 的值：
\[
a = \frac{\sum_{k=1}^{m}(x_k - \bar{x})(y_k - \bar{y})}{\sum_{k=1}^{m}(x_k - \bar{x})^2}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}
\]
其中 \(\bar{x}\) 和 \(\bar{y}\) 分别表示 \(x\) 和 \(y\) 的平均值。
#### (a)
对于第一组数据，我们有:
- \(x = [-2, -1, 0, 1, 2]\)
- \(y = [1, 2, 3, 3, 4]\)
首先计算 \(x\) 和 \(y\) 的平均值:
\[
\bar{x} = \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{5} x_k = 0
\]
\[
\bar{y} = \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{5} y_k = 2.6
\]
然后计算斜率 \(a\) 和截距 \(b\):
\[
a = \frac{\sum_{k=1}^{5}(x_k - \bar{x})(y_k - \bar{y})}{\sum_{k=1}^{5}(x_k - \bar{x})^2} = \frac{7}{10} = 0.7
\]
\[
b = \bar{y} - a\bar{x} = 2.6 - 0.7 \times 0 = 2.6
\]
因此，拟合直线为 \(y = 0.7x + 2.6\)。
#### (b)
对于第二组数据，我们有:
- \(x = [-4, -2, 0, 2, 4]\)
- \(y = [1.2, 2.8, 6.2, 7.8, 13.2]\)
同样地，先计算 \(x\) 和 \(y\) 的平均值:
\[
\bar{x} = \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{5} x_k = 0
\]
\[
\bar{y} = \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{5} y_k = 6.24
\]
接着计算斜率 \(a\) 和截距 \(b\):
\[
a = \frac{\sum_{k=1}^{5}(x_k - \bar{x})(y_k - \bar{y})}{\sum_{k=1}^{5}(x_k - \bar{x})^2} = \frac{58}{40} = 1.45
\]
\[
b = \bar{y} - a\bar{x} = 6.24 - 1.45 \times 0 = 6.24
\]
因此，拟合直线为 \(y = 1.45x + 6.24\)。
#### (c)
对于第三组数据，我们有:
- \(x = [0.0, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00]\)
- \(y = [1.0000, 1.2840, 1.6487, 2.1170, 2.7183]\)
计算 \(x\) 和 \(y\) 的平均值:
\[
\bar{x} = \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{5} x_k = 0.5
\]
\[
\bar{y} = \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{5} y_k = 1.7536
\]
接着计算斜率 \(a\) 和截距 \(b\):
\[
a = \frac{\sum_{k=1}^{5}(x_k - \bar{x})(y_k - \bar{y})}{\sum_{k=1}^{5}(x_k - \bar{x})^2} = \frac{1.0674}{0.625} = 1.7078
\]
\[
b = \bar{y} - a\bar{x} = 1.7536 - 1.7078 \times 0.5 = 0.8997
\]
因此，拟合直线为 \(y = 1.7078x + 0.8997\)。
### 2. 最小二乘拟合多项式
接下来的问题要求我们使用最小二乘法来拟合一次、二次和三次多项式，并画出数据点及拟合函数的图形。
#### (a)
这里我们仅考虑一次和二次拟合的情况。
##### 一次多项式拟合
对于给定的数据:
- \(x = [1.0, 1.1, 1.3, 1.5, 1.9, 2.1]\)
- \(y = [1.84, 1.96, 2.21, 2.45, 2.94, 3.18]\)
首先计算 \(x\) 和 \(y\) 的平均值:
\[
\bar{x} = \frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6} x_k = 1.4833
\]
\[
\bar{y} = \frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6} y_k = 2.4300
\]
接着计算斜率 \(a\) 和截距 \(b\):
\[
a = \frac{\sum_{k=1}^{6}(x_k - \bar{x})(y_k - \bar{y})}{\sum_{k=1}^{6}(x_k - \bar{x})^2} = \frac{1.1810}{0.9683} = 1.2196
\]
\[
b = \bar{y} - a\bar{x} = 2.4300 - 1.2196 \times 1.4833 = 0.6209
\]
因此，一次最小二乘拟合多项式为 \(y = 1.2196x + 0.6209\)。
##### 二次多项式拟合
假设二次多项式的形式为 \(y = a_2x^2 + a_1x + a_0\)。根据正规方程组，我们有:
\[
\begin{cases}
n a_2 + (\sum x) a_1 + (\sum x^2) a_0 = \sum y \\
(\sum x) a_2 + (\sum x^2) a_1 + (\sum x^3) a_0 = \sum xy \\
(\sum x^2) a_2 + (\sum x^3) a_1 + (\sum x^4) a_0 = \sum x^2y
\end{cases}
\]
将给定数据代入，我们可以求解出 \(a_2, a_1, a_0\) 的值。这里不进行具体的计算步骤展示，但可以得到二次最小二乘拟合多项式为:
\[
y = 0.01085343x^2 + 1.253293x + 0.5965807
\]
通过上述分析，我们已经详细解释了如何使用最小二乘法来进行线性和非线性的数据拟合，并给出了具体计算过程和结果。
