本资料是中科大版本 苏淳编著的概率论答案
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2023-03-15
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概率论作业
2022 年 11 月 14 日
1 10.12 作业
问题 1 : 5. 若对每个 n ⩾ 1, X
n
都是随机变量, 证明
sup
n⩾1
X
n
, inf
n⩾1
X
n
, lim sup
n→∞
X
n
, lim inf
n→∞
X
n
均为随机变量.
解： 注意到，对每个 ω ∈ Ω 与任何 x ∈ R
w : inf
n⩾1
X
n
(w) ≤ x
=
[
n⩾1
{w : X
n
(w) ≤ x} ∈ F
故，inf
n⩾1
X
n
是随机变量.
另一方面，有关系
sup
n≥1
X
n
= − inf
n≥1
(−X
n
)
lim sup
n→∞
X
n
= inf
i≥1
sup
n≥i
X
n
lim inf
n→∞
X
n
= −lim sup
n→∞
(−X
n
)
因此，其余三个也是随机变量
.
问题 2 : 1. 设 A 和 B 是同一个概率空间中的两个随机事件, 证明:(1) I
A△B
= (I
A
− I
B
)
2
; (2)
I
A△B
= |I
A
− I
B
|; (3) I
A∪B
= max {I
A
, I
B
} (4) I
A∩B
= min {I
A
, I
B
}; (5) I
A∩B
= I
A
· I
B
解：
1. 由下式可知，（1）式成立.
ω ∈ A∆B, I
A△B
= (I
A
− I
B
)
2
= 1
ω /∈ A∆B, I
A△B
= (I
A
− I
B
)
2
= 0
1
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