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苏淳概率论答案.pdf

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中科大版苏淳概率论答案老师布置了书中的大部分习题，并且整理了答案，后续将持续上传

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第一章作业

2022 年 10 月 16 日

1 第一次作业

问题 1 : 设 A 和 B 为某两个事件，试求出所有的事件 X, 使

(X ∪ A)

∪ (X ∪ A

)

= B

解：注意到

(X ∪ A)

∪ (X ∪ A

)

= X

∪ X

A = X

∪ A) = X

Ω = X

从而我们有: X

= B, 故 X = B

问题 2 : 在区间 [0, 1] 中任取一点 x ，记 A =



0 ⩽ x ⩽



, B =



< x ⩽



, C =



⩽ x < 1



，

试用相同的方法表示如下各事件: (1) AB

; (2) A +B

; (3) (AB)

; (4) (A

)

; (5) (A +B)(A +C)

解：注意到 A

= {2/3 < x ≤ 1}, B

= {0 ≤ x ≤ 1/4或3/4 < x ≤ 1}, 故

1. AB



0 ⩽ x ⩽



;

2. A + B



0 ⩽ x ⩽

或

< x ≤ 1



;

3. (AB)

= A

∪ B



0 ≤ x ≤

或

< x ⩽ 1



;

4. (A

)

= A ∪ B =



0 ⩽ x ⩽



;

5. (A + B)(A + C)

= (A ∪ B)A

= AA

∪ BA

= ∅

问题 3 : 试用事件 A

, ··· , A

表示如下各事件：

(1) B

= {A

, ··· , A

中至多发生两个 }; (2) B

= {A

, ··· , A

中至少发生两个 };

(3) B

= {A

, ··· , A

中恰发生两个 }; (4) B

= {A

, ··· , A

都不发生 }.

解：假设 i, j, k, l, m 为取值 1 到 5 的互不相同的 5 个数, 则

1 第一次作业 2

1. B



i,j,k=1

(

)

2. B



i,j=1

)

3. B



i,j,k,l,m=1

)

4. B

问题 4 : 设事件列 {A

} 单调上升，即对任何 n ∈ N, 有 A

⊂ A

n+1

, 试用概率论语言证明：

lim sup

n→∞

∞



n=1

= lim inf

n→∞

证明：令

∞



k=n

, C

∞



k=n

则由 {A

} 单调上升可知

∞



k=n

∞



k=1

, C

∞



k=n

= A

从而

lim inf

n→∞

∞



n=1

∞



n=1

lim sup

n→∞

∞



n=1

∞



k=1

∞



n=1

命题得证.

问题 5 : 进行独立重复的 Bernoulli 试验. 以事件 A

表示“事件 A 在第 n 次试验时出现”, 事件

n,m

为“事件 A 在前 n 次试验中出现 m 次”.

(1) 试以 A

表示 B

4,2

;

(2) 试解释事件 B



∞

n=m

(



k=0

n,k

);

(3) 记 B =



∞

m=1

. 试问关系式



∞

n=1

⊆ B

与



∞

n=1

⊆ B 是否成立?

解：

1. B

4,2

= A

∪ A

2. 令 C

n,m



k=0

n,k

, 则 B



∞

n=m

n,m

. 注意到对任意的 n ≥ m

n,m

= {事件A在n次试验中至多出现m次}

故

∞



n=m

n,m

= {事件A在任意n(n ≥ m)次试验中至多出现m次}

2 第二次作业 3

3. 注意到

n,m

= {事件A在n次试验中至少出现m + 1次}

m,m

= {事件A在m次试验中至少出现m + 1次} = ∅

故对任意的 m ≥ 1, 我们有

∞



n=1

⊂

m+1



n=1

= {事件A在m + 1次试验中出现m + 1次}

⊂ {事件A在m + 1次试验中至少出现m + 1次} = C

m+1,m

⊂

∞



n=m

n,m

= B

从而

∞



n=1

⊂

∞



= (

∞



m=1

)

= B

另一方面，注意到，对任意的 m ≥ 1, k ≥ m, 我们有

∞



n=1

⊂

∞



n=m+1

⊂ {事件A在k(k ≥ m)次试验中至多出现m次}

= C

k,m

从而, 对任意的 m ≥ 1

∞



n=1

⊂

∞



k=m

k,m

= B

因此

∞



n=1

⊂

∞



m=1

= B.

2 第二次作业

问题 6 : 一学生宿舍有 6 名学生，试求如下各事件的概率: (1) 6 个人生日都是在星期天; (2) 6 个

人生日都不在星期天; (3) 6 个人生日不都在星期天.

解：令

Ω := {6 名学生生日在每周某天的所有可能情况}

A := {6 个人生日都是在星期天}

2 第二次作业 4

B := { 6 个人生日都不在星期天}

C := {6 个人生日不都在星期天}

则易知 |Ω| = 7

, |A| = 1, |B| = 6

, |C| = |Ω| − |A| = 7

− 1, 故

P (A) =

|A|

|Ω|

= (

)

, P (B) =

|B|

|Ω|

= (

)

, P (C) =

|C|

|Ω|

= 1 − P (A) = 1 − (

)

问题 7 : 房间里有 10 个人, 分别佩戴着从 1 ∼ 10 号的纪念章, 现等可能地任选 3 个不同的人, 记

录其纪念章的号码. 试求: (1) 最小号码为 5 的概率; (2) 最大号码为 5 的概率.

解：令 A :={最小号码为 5 }, B :={最大号码为 5}, 易知

P (A) =

120

, P (B) =

120

问题 8 : 一种彩票的游戏规则如下: 每张彩票可以从 1 ∼ 33 中不重复地任选 7 个数, 开奖时有摇

奖机在

∼

中开出

个基本号和一个特别号

(

均不重复

彩票号码如果与基本号全部对上

(

不

计次序), 为一等奖; 对上 6 个基本号和特别号, 为二等奖; 对上 6 个基本号, 为三等奖; 对上 5 个基

本号和特别号, 为四等奖. 现分别以 A

, A

表示中一、二、三、四等奖的事件. 试求它们的

概率.

解：由题意，易知

P (A

) =

, P (A

) =

P (A

) =

, P (A

) =

问题 9 : 将 30 个球等可能地放入 8 个盒子. 试求如下事件的概率: 有 3 个盒子为空盒, 有 2 个盒

子各放 3 个球, 有 2 个盒子各放 6 个球, 有 1 个盒子放 12 个球.

解：根据 30 个球是否相同分以下两种情况讨论：

1. 若

个球是不同的

令

Ω :=

{

将

个球放入

个盒子所有可能的放法

}

，则由可重排列模

式知

|Ω| = 8

先把 30 个小球分为 5 个无编号的组（每组小球个数为 3，3，6，6，12），共有

α =

30!

(3!)

(6!)

12!(2!2!)

种分法。再将 5 组小球分配给 8 个盒子，有 A

种分法 (这一步做完以后，没有小球的 3 个

盒子自然出来了)。因此，

|A| = A

· α

进而得，

P (A) =

|A|

|Ω|

30!

(3!)

(6!)

12!(2!2!)

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m0_68827509

2023-03-04

你好，还有后续吗

金锋986321
上传者
2023-03-15

本书的全部答案已在另一文件中上传，您可以在我的主页中搜索完整版。或者私聊我也可以的

金锋986321

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