复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是复数域上的解析函数。复数是由实部和虚部组成的，可以形象地表示在复平面上。复平面上的点集是复变函数研究的基础，这些点集可以是各种形状，如圆、线、区域等。
在复平面上，点集的基本概念包括邻域、去心邻域、内点、外点、边界点以及聚点。邻域是指以某点为中心，半径为δ的圆形区域，记作U(z, δ)，包含该点的所有点。去心邻域则是去掉中心点的邻域，记为U\(z, δ)\)。如果一个点是点集E的内点，那么在该点的任意邻域内所有点都属于E。反之，如果一个点的邻域内存在不在E中的点，则该点为外点。边界点是指任何邻域中都有E内点和外点共存的点。聚点则是指无论取多小的邻域，总能找到至少一个E中的点。
开集是所有点都是内点的点集，也就是说，开集内没有边界点。而闭集是包含了自己边界的集合。区域是一种特殊的开集，不仅要求是开集，还需要满足连通性，即区域内的任意两点可以通过完全位于区域内的路径相连。根据边界是否存在，可以将区域分为有界区域和无界区域。有界区域指的是存在一个圆能够完全包围这个区域，而无界区域则不存在这样的圆。
例如，(1)圆盘{|||}zzar≤，其中a和r是实数，是一个有界开区域，边界是圆周{|||}zzar=。(2)点集{(1)(1)0}izi+，表示了复平面上的一条直线，是一个无界区域。简单曲线，如Jardan曲线，是不自交的连续曲线，可以表示为参数形式z(t)=x(t)+iy(t)，其中t是参数。简单闭曲线如z(t)=z(t+2π)，满足端点重合，根据约当定理，可以把复平面划分为内部和外部两个区域。
单连通域是复平面上的一种区域，其中任何简单闭曲线的内部始终在该区域内，而多连通域则允许存在内部包含其他闭曲线的区域。例如，|z|<R是单连通的，而0≤r<|z|≤R则是一个多连通区域，因为后者包含了圆心为原点，半径为r和R的两个圆之间的区域，形成了一个环绕原点的环状区域。
理解这些基本概念对于深入学习复变函数至关重要，因为它们构成了分析复函数性质、解复积分、研究解析延拓等问题的基础。复变函数在工程、物理、信号处理等多个领域有着广泛的应用。
