数学建模常用方法的理论介绍和相关代码（MATLAB和Python）

对元胞自动机的初步认识 元胞自动机（CA）是一种用来仿真局部规则和局部联系的方法。典型的元 胞自动机是定义在网格上的，每一个点上的网格代表一个元胞与一种有限的状 态。变化规则适用于每一个元胞并且同时进行。 元胞的变化规则&元胞状态 典型的变化规则，决定于元胞的状态，以及其（ 4 或 8 ）邻居的状态。 元胞自动机的应用 元胞自动机已被应用于物理模拟，生物模拟等领域。 元胞自动机的matlab编程 结合以上，我们可以理解元胞自动机仿真需要理解三点。一是元胞，在matlab中可以理解为矩阵中的一点或多点组成的方形块，一般我们用矩阵中的一点代表一个元胞。二是变化规则，元胞的变化规则决定元胞下一刻的状态。三是元胞的状态，元胞的状态是自定义的，通常是对立的状态，比如生物的存活状态或死亡状态，红灯或绿灯，该点有障碍物或者没有障碍物等等。 案例一 生命游戏是英国数学家约翰·何顿·康威在1970年发明的细胞自动机。它包括一个二维矩形世界，这个世界中的每个方格居住着一个活着的或死了的细胞。一个细胞在下一个时刻生死取决于相邻八个方格中活着的或死了的细胞的数量。通常情况，游戏的规则就是：当一个方格周围有2或3个活细胞时，方格中的活细胞在下一个时刻继续存活；即使这个时刻方格中没有活细胞，在下一个时刻也会“诞生”活细胞。 听说许多程序猿都喜欢玩这个 规则是： ? 对周围的 8 个近邻的元胞状态求和 ? 如果总和为 2 的话，则下一时刻的状态不改变 ? 如果总和为 3 ，则下一时刻的状态为 1 ? 否则状态= 0 元胞的邻居定义通常有以下三种范式，这里采用第二种，认为其周围八个点为邻居。 代码： %% 设置GUI按键 plotbutton=uicontrol('style','pushbutton','string','运行', 'fontsize',12, 'position',[150,400,50,20], 'callback', 'run=1;'); erasebutton=uicontrol('style','pushbutton','string','停止','fontsize',12,'position',[250,400,50,20],'callback','freeze=1;'); quitbutton=uicontrol('style','pushbutton','string','退出','fontsize',12,'position',[350,400,50,20],'callback','stop=1;close;'); number = uicontrol('style','text','string','1','fontsize',12, 'position',[20,400,50,20]); %% 元胞自动机设置 n=200; %初始化各元胞状态 z = zeros(n,n); sum = z; cells = (rand(n,n))<.6; % 建立图像句柄 imh = image(cat(3,cells,z,z)); set(imh, 'erasemode', 'none') % 元胞更新的行列数设置 x = 2:n-1; y = 2:n-1; % 主事件循环 stop= 0; run = 0;freeze = 0; while stop==0 if run==1 % 计算邻居存活的总数 sum(x,y) = cells(x,y-1) + cells(x,y+1) + cells(x-1, y) + cells(x+1,y)... + cells(x-1,y-1) + cells(x-1,y+1) + cells(x+1,y-1) + cells(x+1,y+1); % 按照规则更新 cells = (sum==3) | (sum==2 & cells); set(imh, 'cdata', cat(3,cells,z,z) ) stepnumber = 1 + str2double(get(number,'string')); set(number,'string',num2str(stepnumber)) end if freeze==1 run = 0; freeze = 0; end drawnow end 案例二 规则，先把中间点置为1，每一时间步对每一点，如果周围 八个点和为偶数，则变为0，为奇数则变为 1 % 颜色控制 Map = [1 1 1; 0 0 0]; colormap(Map); % 设置网格大小 S = 121; L = zeros(S); % 把中间一个数设置为 1 作为元胞种子 M = (S+1)/2; L(M, M) = 1; Temp = L; imagesc(L); % 计算层数 Layer = (S-1)/2 + 1; for t=2:Layer for x=M-t+1:M+t-1 if x==M-t+1 || x==M+t-1 for y=M-t+1:M+t-1 SUM = 0; for m=-1:1 for n=-1:1 if x+m>0 && x+m<=S && y+n>0 && y+n<=S SUM = SUM + L(x+m, y+n); end end end SUM = SUM - L(x, y); Temp(x, y) = mod(SUM, 2); end else y = M-t+1; SUM = 0; for m=-1:1 for n=-1:1 if x+m>0 && x+m<=S && y+n>0 && y+n<=S SUM = SUM + L(x+m, y+n); end end end SUM = SUM - L(x, y); Temp(x, y) = mod(SUM, 2); y = M+t-1; SUM = 0; for m=-1:1 for n=-1:1 if x+m>0 && x+m<=S && y+n>0 && y+n<=S SUM = SUM + L(x+m, y+n); end end end SUM = SUM - L(x, y); Temp(x, y) = mod(SUM, 2); end end L = Temp; imagesc(L); % 速度控制 pause(0.2); end 案例三 元胞自动机在交通流领域的模拟 第一步，先将这个函数放到matlab函数库种 function [ v, d, p ] = multi_driveway_with_crossroad_exit( nl,... nc,dt,fp,nt,chance,chance1) % fp:车道入口处新进入车辆的概率向量（2,3,5 车道）——输入参数 % chance:交叉口处车辆行为的概率向量(5 车道右转,3车道右转）——输入参数 %构造元胞矩阵 B=ones(nc+1+nl/2,nl+3); %不可行车道 B(nc/2+1,[1:nl/2 nl/2+4:nl+3])=1.2; B(nc+2:nc+1+nl/2,[1:nl/2 nl/2+4:nl+3])=1.2; %初始化仿真元胞状态（1 为无车，0 为有车） bb1=B([1:nc/2 nc/2+2:nc+1],:);bb2=B(:,nl/2+3);bb3=B(:,nl/2+1); bb1(bb1~=0)=1; bb2(bb2~=0)=1; bb3(bb3~=0)=1; B([1:nc/2 nc/2+2:nc+1],:)=bb1;B(:,nl/2+3)=bb2;B(:,nl/2+1)=... bb3;B(1:nc+1,nl/2+1:nl/2+3)=1; B(1:nc/2,end)=0;B(nc/2+2:nc+1,1)=0;B(end,nl/2+3)=0; %显示初始交通流图 figure(); H=imshow(B,[]); set(gcf,'position',[241 132 560 420]) ;%241 132 560 420 set(gcf,'doublebuffer','on'); %241 title('cellular-automation to traffic modeling','color','b'); %初始化化存储元胞上车辆状态的矩阵 S(1:nc*2+2,nl/2-2) = 0; Q(1:nc*2+2,1:2) = 0; C=zeros(nc+1,3); %初始化换道频率、平均速度、车流密度相关变量 ad = 0; av(1:nt) = 0; ap(1:nt) = 0; s = 1;flag= 0;flag1=0;%flag、flag1 用于标示小区出口的车是否为左转车辆 flag2=0; for n = 1:nt %六个路段的长度。 A=[ B(1:nc/2,nl/2 :-1:1); B(nc/2+2:nc+1,1:nl/2); B(1:nc/2,nl+3:-1:nl/2+4); B(nc/2+2:nc+1,nl/2+4:nl+3); B(nc+1+nl/2:-1:nc+2,nl/2+3)'; B(nc+2:1:nc+1+nl/2,nl/2+1)' ]; c=B(1:nc+1,nl/2+1:nl/2+3); %确定前 n-2 个车辆的状态 S(:,:) = 0; S(A(:,1:end-2)==0&A(:,2:end-1)==1&A(:,3:end)==1)=2;%快速行驶的车 S(A(:,1:end-2)==0&A(:,2:end-1)==0)=3;%停车的车 S(A(:,1:end-2)==0&A(:,2:end-1)==1&A(:,3:end)==0)=1;%慢速行驶的车 %确定最后两个元胞的状态 Q(:,:)= 0; Q(A(:,end-1)==0&A(:,end)==0) = 3; Q(A(:,end-1)==0&A(:,end)==1) = 1; if c(3,1)==0 if rand<chance1 flag2=1; c(3,1)=1; end end if A(1,end)==0 Q(1,end)=1; end if A(4,end)==0 Q(4,end)=1; end if A(6,end)==0 Q(6,end)=1; end if rem(floor(n/50),2)==0 %此时左右向为绿灯 if A(2,end)==0 if c(nc/2+2:nc+1,1)==0 Q(2,end)=3; else Q(2,end)=1; end end if A(3,end)==0 if c(1,3)==0 Q(3,end)=3; else Q(3,end)=1; end end %按照既定规则行驶（5 车道右转） if A(5,end)==0 if flag==0 if rand<chance %路口车右转 if c(nc/2+2:nc+1,:)==1 Q(5,end)=1; else Q(5,end)=3; end end else %第一辆车为左转车，需要等待 end end if c(1,2)==0 if c(1,1)==1%3道口左转的思路：规避。 C(1,2)=1; else C(1,2)=3; end if c(2,1)==0 C(1,2)=3; end end if c(1,3)==0 if c(1,2)==1 C(1,3)=1; else C(1,3)=3; end end if c(3,1)==0 if c(3,2)==1 C(3,1)=1; else C(3,1)=3; end end if c(3,2)==0 if c(3,3)==1 C(3,2)=1; else C(3,2)=3; end end if rem(n,20)==0&&c(3,2)==0%小区出来的车还遗留在路口，特殊处理先行 if c(2,1)==1 C(3,2)=5; %特殊的等待状态（小区出来的车） else C(3,2)=3; end end if c(2,1)==0 if A(1:nc/2,1)==0 C(2,1)=3; else C(2,1)=1; end end if c(1,1)==0 if A(1,1)==0 C(1,1) = 3; else C(1,1) = 1; end end if c(3,3)==0 if A(nc*3/2+1:2*nc,1)==0 C(3,3) = 3; else C(3,3) = 1; end end else %此时小区出入向为绿灯 Q(2,end)=3;Q(3,end)=3; if c(3,2)==0 if flag1==1 if c(2,1)==1 C(3,2)=5;flag1=0; else C(3,2)=3; end else if c(3,3)==1 C(3,2)=1; else C(3,2)=3; end end end if c(2,1)==0 if A(1:nc/2,1)==1&&c(1,1)==1 C(2,1)=1; else C(2,1)=3; end end if A(5,end)==0 if flag==0 if rand<chance if c(nc/2+2:nc+1,:)==1 Q(5,end)=1; else Q(5,end)=3; end else if c(nc/2+2:nc+1,1)==1&&c(nc/2+2:nc+1,2)==1 Q(5,end)=5;flag=0;flag1=1; %小区的左转前进，用以区分右转车辆