不等式与不等式组是数学中的基本概念，它们在解决实际问题和理论分析中起着关键作用。本节将详细阐述不等式的性质及其应用。
知识点1：不等式的性质
1. 不等式的性质1表明，如果x大于y，那么x加上或减去任意数后仍大于y加上或减去同一个数。例如，如果x > y，那么x - 3 > y - 3，x + 3 > y + 3。然而，如果乘以负数，不等号方向会反转，如-3x < -3y。
2. 不等式的性质2指出，如果a大于b，那么a减去b的结果大于零。这是因为a - b = (a + 0) - b，符合性质1。
知识点2：利用不等式的性质解不等式
5. 解不等式x - 2 > 1，可以通过将不等式两边都加2得到x > 3，因此解集是x > 3。
6. 表示不等式x - 1 < 0的解集，是数轴上小于1的所有实数，即x < 1。
7. 不等式5x ≤ -10的解集在数轴上表示为所有小于-2的x值，即x ≤ -2。
知识点3：不等式的简单应用
9. 在天平秤问题中，通过比较物体的质量关系，可以得出物体质量的大小顺序。这里需要根据天平的倾斜方向判断质量大小。
10. 对于租车问题，比较不同租车方案的费用，当单位每月用车距离超过1500千米时，选择个体车主更合算，因为个体车主的费用随距离增加而线性增加，而出租车公司的费用固定。
知识点4：不等式的变形
11. 当a < b时，不等式可以进行各种变换，但需要注意不等号的方向。例如，a + x < b + x，-a + 1 > -b + 1，3a < 3b是正确的，而a + 1 > b + 1是错误的。
12. 解不等式2x - 6 > 0，通过加6并除以2，得到x > 3。
13. 并非所有不等式的两边乘以或除以一个数时，不等号方向都会保持不变。例如，当c为0时，ac² > bc²不成立，因为任何数乘以0都是0。
14. 如果3x + 4 ≤ 0，解不等式得到x ≤ -，所以x的取值范围是x ≤ -。
知识点5：解不等式集
15. (1) 从x + 2016 > 2017得出x > 1，因为两边减去2016。
(2) 从2x > -得出x > -，两边除以2。
(3) 从-2x > -得出x < ，两边除以-2，不等号方向改变。
(4) 从->-1得出x < 7，两边乘以-7，不等号方向改变。
知识点6：不等式性质的应用
16. (1) 若a > b，则2a + 1 > 2b + 1。
(2) 若-1.25y < -10，则y > 8，不等号方向改变。
(3) 若a < b，且c < 0，则ac + c > bc + c，因为c < 0，不等号方向不变。
(4) 若a > 0，b < 0，c < 0，则(a - b)c < 0，乘以负数c，不等号方向改变。
知识点7：不等式成立的条件
17. (1) mx < n 成立的条件是m > 0，不等式两边同时除以m。
(2) a < b 成立的条件是ma > mb，m < 0。
(3) a > -5 成立的条件是a² ≤ -5a，-5 < a ≤ 0。
(4) 3x > 4y 成立的条件是3x - m > 4y - m，m为任意实数。
知识点8：解不等式
18. (1) 解不等式8 - 3x < 4 - x，首先两边加x，然后减8，最后除以-2，得到x > 2。
(2) 解不等式2(x - 1) < 3(x + 1) - 2，先去括号，然后整理，得到2x < 3x + 3，最后移项得到x > -3。
总结来说，不等式的性质和应用是数学中的核心概念，用于分析数量关系和解决实际问题。理解并掌握这些性质和解不等式的方法对于解决复杂问题至关重要。
