这篇文档是针对九年级学生设计的一份数学同步练习,主要涉及二次函数和一元二次方程的相关知识。在数学中,二次函数是一类形如 y = ax^2 + bx + c 的函数,其中 a, b, c 是常数且 a ≠ 0。一元二次方程则是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程,其中 a, b, c 是常数,a ≠ 0。
1. 二次函数与x轴的交点:交点坐标可以通过解二次函数等于0的方程得到,即 ax^2 + bx + c = 0。解出x的值,这些值就是函数与x轴的交点。例如题目中的(1)y=x^2+x+1; (2)y=4x^2-8x+4; (3)y=-3x^2-6x-3; (4)y=-3x^2-x+4,通过求解这些方程可以找出函数与x轴的交点。
2. 方程的根与函数图象的关系:方程的根是函数图象与x轴的交点的横坐标。如果二次函数y=ax^2+bx+c与x轴有交点,那么方程ax^2+bx+c=0就有实数根。例如,方程2+7x+9=1的根对应于函数y=x^2+7x+9与直线y=1的交点。
3. 利用图象求一元二次方程的根:可以通过观察函数图象找出与x轴的交点,从而确定方程的根。如(1)4x^2-8x+1=0; (2)x^2-2x-5=0; (3)2x^2-6x+3=0; (4)x^2-x-1=0,可以画出每个函数的图象,找到与x轴的交点,从而求得根。
4. 二次函数与几何图形的结合应用:在问题5中,铅球的运动轨迹被描述为一个二次函数的一部分。通过已知的起点A(0,2)和最高点B(6,5),可以求解这个二次函数的表达式,并计算出铅球的抛出距离。
5. 抛物线的标准形式和韦达定理:在问题6中,利用韦达定理(两根之和等于一次项系数的负数除以二次项系数),可以求解出抛物线的代数表达式y=-x^2+bx+c。同时,通过与y轴的交点坐标可以找到c的值,从而确定完整的二次函数。
6. 直线BC的斜率和截距:在确定了抛物线的解析式后,可以求出与x轴的两个交点A(x1,0)和B(x2,0),再根据这两点确定直线BC的斜率和截距,从而得到直线的表达式。
7. 方程根的个数:通过画出二次函数的图象,可以直观地判断一元二次方程的根的个数。例如问题7,通过观察图象可以判断方程x^2+2x=- 的根的个数。
总结,这份练习涵盖了二次函数的性质、一元二次方程的解法、图象法在求解方程中的应用,以及几何图形与二次函数的结合问题,旨在巩固和提高学生对这部分数学知识的理解和应用能力。通过解答这些问题,学生可以深化对二次函数和一元二次方程概念的认识,提高分析和解决问题的能力。